Im Abitur steckt die Analysis voller Ableitungen: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, die Steigung in einem Punkt, Hoch- und Tiefpunkte. Dieser Ableitungsrechner leitet jede Funktion von x ab und zeigt dir jeden Schritt, damit du deinen Rechenweg Zeile für Zeile vergleichen kannst. Ein Beispiel aus der Wirtschaft: Kostet die Produktion von x Stück K(x) = 0,02x² + 5x + 800 Euro, tippst du 0.02x^2 + 5x + 800 und bekommst (1/25)*x + 5. Bei x = 100 kostet jedes weitere Stück 9 €, das sind die Grenzkosten. Wichtig: Im Feld f(x) schreibst du Dezimalzahlen mit Punkt, also 0.02 statt 0,02.
Was ist eine Ableitung?
Eine Ableitung sagt dir, wie schnell sich etwas ändert. Du gibst ihr eine Funktion, und sie liefert eine neue Funktion, deren Wert an jeder Stelle x die Steigung der ursprünglichen Kurve an dieser Stelle ist. Tipp x^2 in den Ableitungsrechner, und du bekommst 2*x: Bei x = 3 steigt die Kurve um 6 Einheiten für jede Einheit nach rechts.
Newton und Leibniz haben die Idee Ende des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander entwickelt und sich den Rest ihres Lebens darüber gestritten, wer zuerst da war. Beide Schreibweisen benutzen wir bis heute. Newtons Punkt und Lagranges Strich (f′) bedeuten dasselbe wie Leibniz' dy/dx.
Ableitungen tauchen weit außerhalb des Matheunterrichts auf. Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes. Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit. Grenzkosten sind die Ableitung einer Kostenkurve. Immer wenn jemand fragt „Wie schnell ändert sich das gerade?“, ist eine Ableitung die Antwort.
Viele Mathe-Löser im Netz geben dir das Ergebnis umsonst und lassen sich den Weg dorthin bezahlen. Die Schritte stecken hinter einem Pro-Abzeichen, einer Anmeldepflicht oder einem Tageskontingent, das mitten im Übungsblatt aufgebraucht ist. Dieser Ableitungsrechner zeigt dir das Ergebnis und jeden Schritt, jedes Mal, und dann kannst du wieder gehen. Die Rechnung läuft in deinem Browser, nichts von dem, was du eintippst, verlässt dein Gerät.
So benutzt du den Ableitungsrechner
- Tipp deine Funktion ins Feld f(x) so, wie du sie auf Papier schreiben würdest:
3x^2 + sin(x),x*e^x,(x^2+1)/(x-1). Das Malzeichen kannst du weglassen (2x,xsin(x)). Die einzige Variable ist x. - Schau zu, wie das Ergebnis erscheint. Es gibt keinen Berechnen-Knopf. Das Ergebnis aktualisiert sich eine Viertelsekunde, nachdem du aufhörst zu tippen.
- Wähl bei Order (Ordnung) eine höhere Ableitung, wenn du mehr als die erste brauchst. f′ ist die erste, f″ die zweite und so weiter bis f⁽⁵⁾.
- Optional: Gib bei Evaluate at (auswerten an) eine Stelle ein, um die Steigung dort zu bekommen. Eine Zahl,
pi,eoder ein konstanter Ausdruck wiepi/4funktionieren. Ein Dezimalkomma wie2,5wird als 2.5 gelesen. - Lies den Rechenweg unter How we got there (so sind wir hingekommen). Jede Zeile nennt die Regel auf Englisch und zeigt sie mit deinen eigenen Termen.
- Klick auf Copy derivative (Ableitung kopieren), um das Ergebnis als reinen Text für deine Notizen oder einen Funktionsplotter zu übernehmen.
Die Seite startet mit 3x^2 + sin(x) im Feld, also siehst du 6*x + cos(x) und drei Schritte, bevor du irgendetwas anfasst. Das ist der ganze Ablauf: öffnen, tippen, lesen, gehen.
Die Regeln hinter jeder Ableitung
Du brauchst nicht jedes Mal einen Grenzwert, um abzuleiten. Eine kurze Liste von Regeln deckt fast jede Funktion ab, die dir in der Oberstufe oder im ersten Semester begegnet, und der Rechner benutzt genau diese:
Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (f·g)′ = f′g + fg′
Quotientenregel: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Nimm die bekannten Ableitungen von sin, cos, tan, eˣ, ln und Co. dazu, und du kannst fast alles zerlegen. Der Trick ist, zu wissen, welche Regel zuerst dran ist. Genau da passieren die meisten Fehler, und deshalb zählt der Rechenweg mehr als die letzte Zeile.
Durchgerechnetes Beispiel: x·sin(2x) an der Stelle x = 1
Tipp x*sin(2x) ein und setz Evaluate at auf 1. Der Rechner liefert sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) und zwei Schritte:
- Product rule (Produktregel):
(x*sin(2*x))' = (x)'*sin(2*x) + x*(sin(2*x))'. Die Ableitung von x ist 1, also ist die erste Hälfte einfachsin(2*x). - Chain rule (Kettenregel):
(sin(2*x))' = cos(2*x)*(2*x)' = 2*cos(2*x). Die äußere Funktion ist sin, die innere 2x, und die innere Ableitung 2 wandert nach vorne.
Setz die Hälften zusammen, und du bekommst sin(2*x) + 2*x*cos(2*x). Bei x = 1 ist das sin(2) + 2·cos(2), also etwa 0,9093 − 0,8323. Im Wertefeld steht 0.0770038. Die Kurve ist dort fast flach und steigt knapp 0,08 Einheiten pro Einheit x.
Wenn in deinen Hausaufgaben sin(2x) + x·cos(2x) steht, zeigt dir der Schritt zur Kettenregel genau, wo die fehlende 2 geblieben ist.
Häufige Ableitungen, mit dem Rechner geprüft
Jede Zeile unten ist durch den Rechner gelaufen. Die mittlere Spalte ist genau der Text, den Copy derivative in deine Zwischenablage legt, und die letzte Spalte ist der Regelname, den du im Rechenweg siehst (auf Englisch, mit Übersetzung).
| Du tippst | Ableitung | Regel im Rechenweg |
|---|---|---|
x^5 | 5*x^4 | Power rule (Potenzregel) |
x^-2 | -2/x^3 | Power rule (Potenzregel) |
x^(1/3) | 1/(3*x^(2/3)) | Power rule (Potenzregel) |
sqrt(x) | 1/(2*sqrt(x)) | Root rule (Wurzelregel) |
e^x | e^x | Exponential rule (Exponentialregel) |
2^x | 2^x*ln(2) | Exponential rule (Exponentialregel) |
ln(x) | 1/x | Log rule (Logarithmusregel) |
log(x) | 1/(x*ln(10)) | Log rule (Logarithmusregel) |
cos(x) | -sin(x) | Trig rule (trigonometrische Regel) |
tan(x) | sec(x)^2 | Trig rule (trigonometrische Regel) |
asin(x) | 1/sqrt(1 - x^2) | Inverse trig rule (Arkusfunktionen) |
atan(x) | 1/(1 + x^2) | Inverse trig rule (Arkusfunktionen) |
sin(x^2) | 2*x*cos(x^2) | Chain rule (Kettenregel) |
(3x+1)^4 | 12*(3*x + 1)^3 | Chain rule (Kettenregel) |
x^2*e^x | 2*x*e^x + x^2*e^x | Product rule (Produktregel) |
x^x | x^x*(ln(x) + 1) | Logarithmic differentiation (logarithmisches Ableiten) |
Zwei Zeilen bringen Leute aus dem Tritt. log(x) bedeutet hier Logarithmus zur Basis 10, deshalb steht in seiner Ableitung ein ln(10) im Nenner. Nimm ln(x), wenn du den natürlichen Logarithmus meinst. Und x^x passt weder zur Potenzregel noch zur Exponentialregel, weil x sowohl in der Basis als auch im Exponenten steht. Der Rechner wechselt zum logarithmischen Ableiten und sagt dir das auch.
Achte darauf, wie die Ergebnisse nicht aussehen. Du siehst kein -2*x^(-2 - 1) und kein herumliegendes x/x. Exponenten werden zu exakten Brüchen, negative Potenzen erscheinen als Brüche, und gleichartige Terme werden zusammengefasst. Tipp sin(x)^2 + cos(x)^2 ein, und die Antwort ist eine saubere 0, so wie es sein soll.
Einen Hochpunkt mit der zweiten Ableitung finden
Die erste Ableitung zeigt dir, wo eine Kurve waagerecht ist. Die zweite Ableitung sagt dir, ob diese Stelle ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist. Hier ist der ganze Test an f(x) = x³ − 6x² + 9x.
Tipp x^3 - 6x^2 + 9x mit der Ordnung f′ ein. Du bekommst 3*x^2 - 12*x + 9, das sich zu 3(x − 1)(x − 3) faktorisieren lässt. Werte bei 1 und bei 3 aus: Beide Male kommt 0 heraus. Das sind die zwei waagerechten Stellen.
Stell jetzt die Ordnung auf f″. Das Ergebnis ist 6*x - 12, und der Rechenweg zeigt f′ als Zwischenzeile, bevor noch einmal abgeleitet wird. Werte bei 1 aus, und du bekommst -6. Negativ heißt, die Kurve ist nach unten gekrümmt, also ist x = 1 ein lokales Maximum, im Punkt (1, 4). Werte bei 3 aus, und du bekommst 6. Positiv heißt, sie ist nach oben gekrümmt, also ist x = 3 ein lokales Minimum, im Punkt (3, 0).
Mach weiter bis f‴, und du bekommst 6. Bei f⁽⁴⁾ ist die Antwort 0. Einer Funktion dritten Grades gehen nach drei Ableitungen die Ableitungen aus, und der Rechner zeigt dir, wie das passiert.
Tipp: Bei Bewegungsaufgaben tippst du den Ort ein und lässt x für die Zeit stehen. -4.9x^2 + 20x ist ein Ball, der mit 20 m/s nach oben geworfen wird. Seine erste Ableitung bei 2 ist 0.4, der Ball steigt also noch, gerade so. Die zweite Ableitung ist konstant -49/5, also −9,8 m/s², die Erdbeschleunigung.
Sonderfälle und Grenzen
An manchen Stellen gibt es keine Ableitung, und ein guter Rechner sollte das sagen, statt eine Zahl auszugeben.
- Die Funktion ist an deiner Stelle nicht definiert.
ln(x)bei-1ist die klassische Falle. Die Formel 1/x würde fröhlich −1 liefern, aber ln(−1) existiert nicht, also gibt es dort keine Kurve, die eine Steigung haben könnte. Der Rechner prüft zuerst f und meldet, dass f′ dort nicht definiert ist. - Knicke und Spitzen.
abs(x)bei0hat links die Steigung −1 und rechts 1, also passt keine einzelne Steigung.x^(1/3)bei0geht senkrecht nach oben. Beide kommen als nicht definiert zurück. - Die Formel versagt, aber die Steigung existiert.
abs(x)^3bei0ergibt in seiner Formel 0/0, dabei ist die Kurve dort glatt. Der Rechner misst die Steigung von beiden Seiten, bekommt 0 und fügt einen Hinweis hinzu, dass der Wert aus den Zahlen stammt und nicht aus der Formel. - Riesige Werte.
e^xbei1000ist für jede Computerzahl zu groß. Du bekommst die Meldung „That slope is too big to show. Try a smaller x.“ (Die Steigung ist zu groß zum Anzeigen, versuch ein kleineres x.)
Der Umfang ist bewusst so gewählt: eine Variable, x, bis zur 5. Ableitung. Buchstaben wie a oder k gehen noch nicht, sinh, cosh und tanh auch nicht. Partielle Ableitungen und implizites Differenzieren sind andere Aufgaben und nicht Teil dieses Werkzeugs.
Verwandte Rechnungen
Integrieren ist Ableiten rückwärts. Der Integralrechner (auf Englisch) versteht dieselbe Schreibweise für Funktionen, also kannst du eine Stammfunktion prüfen, indem du sie hier ableitest.
Ableitungen sind als Grenzwerte definiert. Der Grenzwertrechner (auf Englisch) zeigt, was passiert, wenn x sich einem Wert nähert, praktisch, wenn eine Formel auf 0/0 stößt.
Die Kurve zu sehen hilft. Füg deine Funktion in den Funktionsplotter (auf Englisch) ein und prüf, ob die berechnete Steigung zum Bild passt. Für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte ist der Steigungsrechner das einfachere Werkzeug. Und wenn f′ eine quadratische Funktion ist, wie 3*x^2 - 12*x + 9 oben, findet der Rechner für die Mitternachtsformel ihre Nullstellen.
Häufige Fragen
Warum ist die Ableitung von e^x einfach e^x?
Weil e die eine Basis ist, bei der die Wachstumsrate gleich dem aktuellen Wert ist. Jede Exponentialfunktion aˣ hat die Ableitung aˣ·ln(a), und ln(e) = 1, also fällt der zusätzliche Faktor weg. Probier 2^x, und du bekommst 2^x*ln(2). Stell e^x auf Ordnung 5, und die Antwort ist immer noch e^x.
Was ist der Unterschied zwischen f′(x), dy/dx und y′?
Fürs Ergebnis keiner. Es sind drei Schreibweisen für dieselbe Ableitung. f′(x) kommt von Lagrange, dy/dx von Leibniz, und y′ ist die Kurzform, wenn y = f(x). Der Rechner benutzt Striche: f′, f″, f‴, dann f⁽⁴⁾ und f⁽⁵⁾.
Kann er partielle Ableitungen oder implizites Differenzieren?
Nein. Dieses Werkzeug leitet Funktionen mit einer einzigen Variablen ab, x. Partielle Ableitungen brauchen mehrere Variablen, und implizites Differenzieren braucht eine Gleichung in x und y. Beides sind eigene Aufgaben, und ein Ableitungsrechner, der alles auf einmal können will, macht meistens jeden Teil schwerer zu bedienen.
Warum ist aus meiner Dezimalzahl ein Bruch geworden?
Der Rechner rechnet exakt, also wird aus 4.9 der Bruch 49/10. Die Ableitung von -4.9x^2 + 20x kommt als -(49/5)*x + 20 zurück, also −9,8x + 20. Es ist dieselbe Zahl, und sie driftet nie in Rundungsrauschen wie 9.800000000000001 ab. Werte an einer Stelle werden weiterhin als Dezimalzahlen angezeigt.
Ist es Schummeln, einen Ableitungsrechner für die Hausaufgaben zu benutzen?
Kommt drauf an, wie du ihn benutzt. Die letzte Zeile abzuschreiben bringt dir nichts. Die Aufgabe erst selbst zu rechnen und dann deinen Weg mit den Schritten zu vergleichen, so findest du genau die Zeile, in der du ein Vorzeichen verloren oder die Kettenregel vergessen hast. Wenn die Schritte hinter einer Bezahlschranke liegen, wird genau diese Gewohnheit teuer. Hier sind sie einfach da.
Funktioniert er auf dem Handy?
Ja. Es ist eine Karte mit drei Eingaben, sie passt also auf einen Handybildschirm, und die Rechnung läuft lokal im Browser. Nichts wird an einen Server geschickt, ein schwaches Netz bremst dich also nicht, sobald die Seite geladen ist.