Was ist Wahrscheinlichkeit?
Wahrscheinlichkeit ist Mathematik für Zufall. Sie sagt, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, von 0 bis 1. 0 heißt: unmöglich. 1 heißt: passiert immer. 0,5 ist die Münzwurf-Welt — die Hälfte der Zeit, plus das normale Durcheinander des echten Lebens.
Heute steckt Wahrscheinlichkeit in A/B-Tests, Wetterprognosen, medizinischen Screenings, Qualitätskontrolle, Lotterien, Sportmodellen, Statistikaufgaben und der kleinen Frage: „Wie stehen die Chancen?“ Ein Wahrscheinlichkeitsrechner sollte diese Frage beantworten, ohne dich in ein Konto, einen Testzeitraum oder ein schweres Statistikwerkzeug zu ziehen. Dieser bleibt klein: Zahlen rein, Chance raus, weiter.
So benutzt du den Wahrscheinlichkeitsrechner
Der Rechner hat vier Modi, weil „Wahrscheinlichkeit“ mehrere Jobs meinen kann. Wähle zuerst den passenden Modus. Dezimalzahlen liegen zwischen 0 und 1: 40% wird 0,40 und 2% wird 0,02.
- Wähle Zwei Ereignisse, wenn du P(A) und P(B) für unabhängige Ereignisse kennst.
- Wähle Solver, wenn du zwei Werte kennst und die restliche Tabelle brauchst.
- Wähle Wiederholte Ereignisse, wenn derselbe Versuch mehrfach unabhängig stattfindet.
- Wähle Normalverteilung, wenn du Mittelwert, Standardabweichung und Grenzen kennst.
- Gib Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen ein. 25% ist 0,25, nicht 25.
- Lies die Ergebnistabelle mit Komplementen, Schnittmengen, Vereinigungen, Wiederholungen oder Normalflächen.
Wenn du zwischen Prozent und Dezimalzahl wechselst, hilft der Prozentrechner. Wahrscheinlichkeit mag Dezimalzahlen. Menschen mögen Prozente. Speisekarten und Rabattschilder haben viel zu erklären.
Die Formel hinter den Rechnungen
Bei zwei unabhängigen Ereignissen multipliziert „und“. „Oder“ addiert und zieht die Überlappung wieder ab.
Für unabhängige Ereignisse: P(A∩B) = P(A) × P(B). P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
Beispiel: A hat 40% Chance und B 25%. P(A) = 0,40 und P(B) = 0,25. Der Schnitt ist 0,40 × 0,25 = 0,10. Beide passieren also in 10% der Fälle. Die Vereinigung ist 0,40 + 0,25 − 0,10 = 0,55. Mindestens eines passiert in 55% der Fälle. Keines passiert in 0,45 oder 45%.
Bei wiederholten Ereignissen ist die Gegenrechnung meist leichter: nie passiert ist (1 − p)n.
P(mindestens einmal) = 1 − (1 − p)n
Bei 2% Chance über 50 Versuche ist mindestens ein Treffer 1 − 0,9850 = 0,63583, also etwa 63,583%. Kleine Chancen werden weniger klein, wenn sie viele Versuche bekommen.
Häufige Ergebnisse
| Frage | Formel | Beispiel mit P(A)=0,40, P(B)=0,25 |
|---|---|---|
| A passiert nicht | 1 − P(A) | 0,60 |
| B passiert nicht | 1 − P(B) | 0,75 |
| A und B passieren | P(A) × P(B) | 0,10 |
| A oder B passiert | P(A) + P(B) − P(A∩B) | 0,55 |
| Keines passiert | 1 − P(A∪B) | 0,45 |
| A passiert, B nicht | P(A) − P(A∩B) | 0,30 |
| B passiert, A nicht | P(B) − P(A∩B) | 0,15 |
| Chance pro Versuch | Versuche | Mindestens einmal |
|---|---|---|
| 1% | 10 | 9,562% |
| 1% | 100 | 63,397% |
| 2% | 50 | 63,583% |
| 5% | 20 | 64,151% |
| 10% | 10 | 65,132% |
Wiederholung ändert die Geschichte. Ein seltenes Ereignis bleibt einmal selten. Über viele unabhängige Versuche kann „mindestens einmal“ fast erwartbar werden.
Grenzfälle und Grenzen
Der Rechner setzt Unabhängigkeit voraus. Münzwürfe passen. Karten ohne Zurücklegen passen nicht, weil die erste Karte den Rest des Decks ändert. Viele echte Ereignisse hängen ebenfalls zusammen.
0 und 1 sind starke Aussagen: unmöglich und garantiert. Der Rechner akzeptiert sie, aber echtes Leben ist selten so sauber.
Die Normalverteilung braucht eine positive Standardabweichung und eine linke Grenze, die kleiner als die rechte ist.
Für medizinische, rechtliche, finanzielle oder Sicherheitsfragen ist das Ergebnis Rechenhilfe, nicht letzte Instanz.
Verwandte Rechnungen
Wenn Reihenfolge egal ist, nutze den Kombinationsrechner. Wenn Reihenfolge zählt, nutze den Permutationsrechner. Für Statistik helfen der z-Score-Rechner und der p-Value-Rechner.
Die Idee bleibt: ein fokussiertes Werkzeug für genau den Job. Keine bezahlten Basics. Keine Sitzplatzpreise für einen Rechner. Keine Vertragsmaschine, wenn normale Mathematik reicht.
Häufig gestellte Fragen
Was macht ein Wahrscheinlichkeitsrechner?
Er macht aus Eingaben nützliche Ergebnisse: Komplemente, Schnittmengen, Vereinigungen, Wiederholungswahrscheinlichkeiten und Normalflächen.
Wie gebe ich Prozente ein?
Als Dezimalzahlen: 0,40 für 40%, 0,025 für 2,5% und 1 für 100%.
Wie wahrscheinlich sind zwei Ereignisse zusammen?
Bei Unabhängigkeit multiplizierst du sie: 0,40 × 0,25 = 0,10.
Was ist der Unterschied zwischen „und“ und „oder“?
„Und“ heißt beide. „Oder“ heißt mindestens eines und zieht die Überlappung ab.
Behandelt der Rechner abhängige Ereignisse?
Nicht direkt. Dafür brauchst du bedingte Wahrscheinlichkeit.