Kalkulator pochodnych

Pochodne są na maturze rozszerzonej z matematyki, a na pierwszym roku analizy liczy się je na każdych ćwiczeniach: pochodna iloczynu, ilorazu, funkcji złożonej i pochodna w punkcie. Ten kalkulator pochodnych liczy pochodną dowolnej funkcji x i pokazuje każdy krok, linijka po linijce. Przykład z ekonomii: jeśli wyprodukowanie x sztuk kosztuje K(x) = 0,02x² + 5x + 800 zł, wpisujesz 0.02x^2 + 5x + 800 i dostajesz (1/25)*x + 5. Przy x = 100 każda kolejna sztuka kosztuje 9 zł — to jest koszt krańcowy. Uwaga: w polu f(x) ułamki dziesiętne piszesz z kropką, 0.02, a nie 0,02.

Czym jest pochodna?

Pochodna mówi, jak szybko coś się zmienia. Dajesz jej funkcję, a ona zwraca nową funkcję, której wartość w każdym x to nachylenie pierwotnej krzywej w tym punkcie. Wpisz x^2 w kalkulator pochodnych, a dostaniesz 2*x: w x = 3 krzywa rośnie o 6 jednostek na każdą jednostkę w prawo.

Newton i Leibniz doszli do tego pomysłu niezależnie pod koniec XVII wieku i do końca życia spierali się, kto był pierwszy. Do dziś używamy zapisów ich obu. Kropka Newtona i prim Lagrange'a (f′) znaczą to samo co dy/dx Leibniza.

Pochodne pojawiają się daleko poza lekcjami matematyki. Prędkość to pochodna położenia. Przyspieszenie to pochodna prędkości. Koszt krańcowy to pochodna krzywej kosztów. Za każdym razem, gdy ktoś pyta „jak szybko to się teraz zmienia?”, odpowiedzią jest pochodna.

Wiele matematycznych rozwiązywaczy w sieci daje wynik za darmo, a każe płacić za to, jak do niego dojść. Kroki siedzą za odznaką Pro, obowiązkowym logowaniem albo dziennym limitem, który kończy się w połowie zadania domowego. Ten kalkulator pochodnych pokazuje wynik i każdy krok, za każdym razem, a potem po prostu pozwala ci wyjść. Obliczenia działają w twojej przeglądarce, więc nic z tego, co wpisujesz, nigdzie nie wychodzi.

Jak używać kalkulatora pochodnych

1. Wpisz funkcję w pole f(x) tak, jak zapisujesz ją na kartce: 3x^2 + sin(x), x*e^x, (x^2+1)/(x-1). Znak mnożenia możesz pominąć (2x, xsin(x)). Jedyna zmienna to x.
2. Patrz, jak pojawia się wynik. Nie ma przycisku Oblicz. Wynik odświeża się ćwierć sekundy po tym, jak przestajesz pisać.
3. Wybierz rząd w Order (rząd), jeśli potrzebujesz czegoś więcej niż pierwszej pochodnej. f′ to pierwsza, f″ druga i tak dalej aż do f⁽⁵⁾.
4. Opcjonalnie: wpisz punkt w Evaluate at (oblicz w punkcie), żeby dostać nachylenie w tym miejscu. Działa liczba, pi, e albo stałe wyrażenie, np. pi/4. Przecinek dziesiętny, jak w 2,5, jest czytany jako 2.5.
5. Przeczytaj kroki pod nagłówkiem How we got there (jak do tego doszliśmy). Każda linijka podaje nazwę reguły po angielsku i pokazuje ją na twoich własnych wyrazach.
6. Kliknij Copy derivative (kopiuj pochodną), żeby zabrać wynik jako zwykły tekst do notatek albo do programu do wykresów.

Strona otwiera się z wpisanym już 3x^2 + sin(x), więc widzisz 6*x + cos(x) i trzy kroki, zanim cokolwiek dotkniesz. To cały proces: otwórz, wpisz, przeczytaj, wyjdź.

Reguły, na których stoi każda pochodna

Nie potrzebujesz granicy za każdym razem, gdy liczysz pochodną. Krótka lista reguł obejmuje prawie każdą funkcję z pierwszego kursu analizy, a kalkulator używa dokładnie tych:

Dodaj znane pochodne sin, cos, tan, eˣ, ln i reszty, a rozłożysz prawie wszystko. Cała sztuka to wiedzieć, po którą regułę sięgnąć najpierw. Tam też zdarza się najwięcej błędów, i dlatego kroki znaczą więcej niż ostatnia linijka.

Rozwiązany przykład: x·sin(2x) w x = 1

Wpisz x*sin(2x) i ustaw Evaluate at na 1. Kalkulator zwraca sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) i dwa kroki:

• Product rule (pochodna iloczynu): (x*sin(2*x))' = (x)'*sin(2*x) + x*(sin(2*x))'. Pochodna x to 1, więc pierwsza połowa to po prostu sin(2*x).
• Chain rule (pochodna funkcji złożonej): (sin(2*x))' = cos(2*x)*(2*x)' = 2*cos(2*x). Funkcja zewnętrzna to sin, wewnętrzna to 2x, a pochodna wewnętrznej, 2, wychodzi na przód.

Złóż połówki i masz sin(2*x) + 2*x*cos(2*x). W x = 1 to sin(2) + 2·cos(2), czyli około 0,9093 − 0,8323. Pole wartości pokazuje 0.0770038. Krzywa jest tam prawie płaska i rośnie o niecałe 0,08 jednostki na jednostkę x.

Jeśli w twoim zadaniu wyszło sin(2x) + x·cos(2x), krok z pochodną funkcji złożonej pokaże dokładnie, gdzie zgubiła się dwójka.

Popularne pochodne sprawdzone w kalkulatorze

Każdy wiersz poniżej przeszedł przez kalkulator. Środkowa kolumna to dokładnie ten tekst, który Copy derivative wkleja do schowka, a ostatnia to nazwa reguły, którą zobaczysz w krokach (po angielsku, z tłumaczeniem).

Na dwóch wierszach ludzie się potykają. log(x) oznacza tu logarytm o podstawie 10, więc w jego pochodnej w mianowniku jest ln(10). Jeśli chodzi ci o logarytm naturalny, użyj ln(x). A x^x nie pasuje ani do pochodnej potęgi, ani do wykładniczej, bo x siedzi i w podstawie, i w wykładniku. Kalkulator przechodzi na różniczkowanie logarytmiczne i mówi o tym wprost.

Zwróć uwagę, jak wyniki nie wyglądają. Nie zobaczysz -2*x^(-2 - 1) ani porzuconego x/x. Wykładniki zwijają się do dokładnych ułamków, potęgi ujemne są zapisywane jako ilorazy, a wyrazy podobne się redukują. Wpisz sin(x)^2 + cos(x)^2, a odpowiedzią będzie czyste 0, tak jak powinno być.

Jak znaleźć maksimum za pomocą drugiej pochodnej

Pierwsza pochodna mówi, gdzie krzywa jest płaska. Druga mówi, czy to płaskie miejsce jest szczytem, czy dołkiem. Oto cały test na f(x) = x³ − 6x² + 9x.

Wpisz x^3 - 6x^2 + 9x z rzędem f′. Dostajesz 3*x^2 - 12*x + 9, co rozkłada się na 3(x − 1)(x − 3). Oblicz w 1 i w 3: oba dają 0. To są dwa płaskie miejsca.

Teraz przełącz rząd na f″. Odpowiedź to 6*x - 12, a kroki pokazują f′ jako linijkę pośrednią przed ponownym różniczkowaniem. Oblicz w 1 i dostajesz -6. Ujemna oznacza, że krzywa wygina się w dół, więc x = 1 to maksimum lokalne, w punkcie (1, 4). Oblicz w 3 i dostajesz 6. Dodatnia oznacza, że wygina się w górę, więc x = 3 to minimum lokalne, w punkcie (3, 0).

Idź dalej do f‴, a dostaniesz 6. Przy f⁽⁴⁾ odpowiedź to 0. Wielomianowi trzeciego stopnia pochodne kończą się po trzech, a kalkulator pokazuje, jak to się dzieje.

Przypadki szczególne i ograniczenia

W niektórych punktach pochodnej nie ma, a dobry kalkulator powinien to powiedzieć, zamiast wypisywać liczbę.

• Funkcja nie jest określona w twoim punkcie. ln(x) w -1 to klasyczna pułapka. Wzór 1/x spokojnie zwróciłby −1, ale ln(−1) nie istnieje, więc nie ma tam krzywej, która mogłaby mieć nachylenie. Kalkulator najpierw sprawdza f i informuje, że f′ nie jest tam określona.
• Załamania i ostrza. abs(x) w 0 ma nachylenie −1 z lewej i 1 z prawej, więc żadne jedno nachylenie nie pasuje. x^(1/3) w 0 idzie pionowo w górę. Oba wracają jako nieokreślone.
• Wzór zawodzi, ale nachylenie istnieje. abs(x)^3 w 0 daje we wzorze 0/0, a krzywa jest tam gładka. Kalkulator mierzy nachylenie z obu stron, dostaje 0 i dodaje notkę, że wartość wzięła się z liczb, a nie ze wzoru.
• Ogromne wartości. e^x w 1000 to za dużo dla każdej liczby w komputerze. Zobaczysz komunikat „That slope is too big to show. Try a smaller x.” (nachylenie jest za duże, żeby je pokazać; spróbuj mniejszego x).

Zakres jest celowy: jedna zmienna, x, do 5. pochodnej. Litery takie jak a czy k nie są jeszcze obsługiwane, podobnie jak sinh, cosh i tanh. Pochodne cząstkowe i różniczkowanie funkcji uwikłanych to inne zadania i nie są częścią tego narzędzia.

Powiązane obliczenia

Całkowanie to różniczkowanie od tyłu. Kalkulator całek (po angielsku) czyta ten sam zapis funkcji, więc funkcję pierwotną sprawdzisz, licząc tutaj jej pochodną.

Pochodne definiuje się przez granice. Kalkulator granic (po angielsku) pokazuje, co się dzieje, gdy x dąży do jakiejś wartości, co przydaje się, gdy wzór daje 0/0.

Zobaczenie krzywej pomaga. Wklej funkcję do kalkulatora wykresów (po angielsku) i sprawdź, czy obliczone nachylenie zgadza się z obrazkiem. Do nachylenia prostej przez dwa punkty prostszy jest kalkulator nachylenia. A gdy f′ okaże się funkcją kwadratową, jak 3*x^2 - 12*x + 9 wyżej, kalkulator równania kwadratowego znajdzie jej miejsca zerowe.

Najczęstsze pytania

Dlaczego pochodna e^x to po prostu e^x?

Bo e to jedyna podstawa, przy której tempo wzrostu równa się bieżącej wartości. Każda funkcja wykładnicza aˣ ma pochodną aˣ·ln(a), a ln(e) = 1, więc dodatkowy czynnik znika. Spróbuj 2^x, a dostaniesz 2^x*ln(2). Ustaw e^x na rząd 5, a odpowiedź dalej brzmi e^x.

Czym różnią się f′(x), dy/dx i y′?

Dla wyniku niczym. To trzy zapisy tej samej pochodnej. f′(x) pochodzi od Lagrange'a, dy/dx od Leibniza, a y′ to skrót, gdy y = f(x). Kalkulator używa primów: f′, f″, f‴, potem f⁽⁴⁾ i f⁽⁵⁾.

Czy liczy pochodne cząstkowe albo różniczkowanie funkcji uwikłanych?

Nie. To narzędzie różniczkuje funkcje jednej zmiennej, x. Pochodne cząstkowe wymagają kilku zmiennych, a różniczkowanie funkcji uwikłanej wymaga równania z x i y. To osobne zadania, a kalkulator pochodnych, który próbuje robić wszystko, zwykle sprawia, że każda część jest trudniejsza w użyciu.

Dlaczego mój ułamek dziesiętny zmienił się w zwykły?

Kalkulator liczy dokładnie, więc 4.9 staje się 49/10. Pochodna -4.9x^2 + 20x wraca jako -(49/5)*x + 20, czyli −9,8x + 20. To ta sama liczba i nigdy nie odpłynie w szum zaokrągleń w rodzaju 9.800000000000001. Wartości w punkcie dalej są wypisywane jako ułamki dziesiętne.

Czy korzystanie z kalkulatora pochodnych przy pracy domowej to ściąganie?

Zależy, jak z niego korzystasz. Przepisanie ostatniej linijki niczego nie uczy. Najpierw rozwiązać samodzielnie, a potem porównać rozwiązanie z krokami — tak znajdujesz dokładnie tę linijkę, w której zgubił się znak albo wypadła pochodna funkcji złożonej. Kiedy kroki są za paywallem, ten drugi nawyk robi się drogi. Tutaj po prostu są.

Czy działa na telefonie?

Tak. To jedna karta z trzema polami, więc mieści się na ekranie telefonu, a obliczenia działają lokalnie w przeglądarce. Nic nie jest wysyłane na serwer, więc słaby zasięg nie spowalnia pracy, kiedy strona już się załaduje.