- ¿Qué diferencia hay entre una integral definida y una indefinida?
- Una integral indefinida es una familia de funciones: todas las F(x) cuya derivada es tu f(x). Por eso la respuesta termina en + C, porque sumar cualquier constante no cambia la derivada. Una integral definida es un solo número: el área con signo bajo f(x) entre dos límites, calculada como F(b) - F(a). La constante se cancela en esa resta, así que las respuestas definidas no llevan + C. Para x^2, la integral indefinida es (1/3)*x^3 + C, y la definida de 0 a 1 es 1/3.
- ¿Por qué toda antiderivada termina en + C?
- Porque derivar elimina las constantes. La derivada de x^3 es 3x^2, y también lo es la de x^3 + 7 y la de x^3 - 100. Al hacerlo al revés no puedes saber qué constante había, así que la respuesta se escribe como x^3 + C para representarlas todas a la vez. Olvidar el + C en una integral indefinida es una de las formas más comunes de perder puntos en un examen de cálculo.
- ¿Cómo decide la calculadora qué regla usar?
- Primero reescribe la función como una suma de términos y luego compara cada término con un conjunto fijo de reglas. Una potencia simple de x usa la regla de la potencia. e^x, sin, cos, tan y 1/cos(x)^2 salen de una tabla. Una función de una expresión lineal, como cos(3x) o (2x+1)^3, usa una sustitución u = 3x o u = 2x + 1. Una potencia de x multiplicada por e^x, sin, cos o ln(x) usa integración por partes. Es el mismo orden que enseñan los libros, por eso los pasos se leen como ejercicios resueltos y no como una caja negra.
- ¿Cuándo se usa la integración por partes?
- Cuando el integrando es un producto en el que una parte se simplifica al derivarla y la otra sigue siendo fácil de integrar. La fórmula es ∫u dv = u*v - ∫v du. Para x*e^x, toma u = x (su derivada es 1) y dv = e^x dx (su integral es e^x), lo que da x*e^x - ∫e^x dx = x*e^x - e^x + C. Para x^2*sin(x) hay que aplicarla dos veces. Los pasos muestran el atajo tabular: deriva x^2 hasta llegar a una constante, integra sin(x) en cada etapa y alterna los signos.
- ¿Por qué dice que e^(-x^2) no tiene forma cerrada?
- Porque e^(-x^2), la campana que hay detrás de la distribución normal, no tiene una antiderivada hecha de funciones ordinarias. Es un resultado demostrado, no un fallo de esta herramienta. Los matemáticos le dieron nombre a su integral, la función de error erf(x), precisamente porque no se puede escribir de otra forma. Muchas funciones de aspecto inocente son así, como sin(x)/x y sqrt(1 + x^3). Cambia a Definida y sigues obteniendo el número: de 0 a 1, e^(-x^2) integra aproximadamente 0.746824.
- ¿Por qué no integra 1/x^2 de -1 a 1?
- Porque 1/x^2 se dispara al infinito en x = 0, que está entre los límites, así que el área es infinita. Si aplicas la antiderivada -1/x a ciegas, obtienes F(1) - F(-1) = -1 - 1 = -2, un área negativa para una función que nunca es negativa. Es la trampa clásica. Esta calculadora revisa el intervalo en busca de puntos donde la función deja de ser finita antes de evaluar nada, y te dice que no hay respuesta finita en lugar de mostrar -2.
- ¿Qué tan precisos son los valores de las integrales definidas?
- Cuando hay una antiderivada simbólica, el valor sale de F(b) - F(a), y es exacto siempre que la respuesta sea una fracción con denominador de hasta 1,000 (verás 1/3 ≈ 0.333333). Cada una de esas respuestas también se recalcula con la regla de Simpson adaptativa, un método numérico que divide el intervalo en partes hasta que la estimación deja de cambiar, y el resultado solo se muestra si ambas coinciden. Las respuestas solo numéricas se calculan con una tolerancia de 1e-8 y se muestran con 6 cifras significativas.
- ¿Qué significa ln(abs(x)) en la integral de 1/x?
- Es ln|x| escrito en texto plano. El logaritmo natural ln(x) solo existe para x positivo, pero 1/x también está definida para x negativo. El valor absoluto hace que la antiderivada funcione a ambos lados del cero: la derivada de ln|x| es 1/x tanto si x es 3 como si es -3. Verás el mismo patrón con la sustitución, como (1/2)*ln(abs(2*x + 1)) para 1/(2x + 1).
- ¿Qué no puede hacer todavía esta calculadora?
- Integra solo funciones de x, una variable cada vez, así que no hace integrales dobles ni triples, ni límites en el infinito. Su conjunto de reglas cubre potencias, exponenciales, sin, cos, tan, secante al cuadrado, sustitución lineal e integración por partes. No hace sustitución trigonométrica, fracciones parciales ni resultados con funciones trigonométricas inversas como arctan(x), así que 1/(x^2 + 1) recibe el mensaje de que no hay forma cerrada en el modo Indefinida. El valor definido sigue funcionando para todas ellas.
- ¿Se envía a algún sitio lo que escribo?
- No. El analizador, el integrador y la comprobación numérica funcionan en tu navegador. No se envía nada a un servidor, no se guarda nada, y al cerrar la pestaña se borra. Por eso también los resultados aparecen mientras escribes en lugar de después de un viaje de ida y vuelta.
