- ¿Cómo encuentra la calculadora un límite?
- Empieza como lo harías en un examen: sustituye el punto. Si f(x) es continua ahí, ese valor es el límite y listo. Si la sustitución da 0/0 o ∞/∞, aplica la regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador por separado, hasta en tres rondas, y muestra cada derivada. Las formas como 0·∞ se reescriben primero como fracción, y las potencias como 1^∞ pasan por e elevado al límite de g·ln f. Cada respuesta también se comprueba con f(x) evaluada en puntos que se acercan a x. Si el álgebra y los números no coinciden, te lo dice en lugar de darte una suposición.
- ¿Qué significa “No existe” y por qué un límite no existiría?
- Un límite bilateral solo existe cuando f(x) tiende al mismo valor por la izquierda y por la derecha. 1/x en 0 no pasa esa prueba: por la izquierda tiende a −∞, por la derecha a ∞. abs(x)/x salta de −1 a 1. La otra forma en que un límite falla es la oscilación: sin(1/x) oscila entre −1 y 1 cada vez más rápido cuando x se acerca a 0 y nunca se estabiliza. El resultado dice cuál de las dos pasó, y la tabla muestra la evidencia.
- ¿Qué diferencia hay entre un límite lateral y uno bilateral?
- Un límite lateral solo mira x acercándose desde una dirección. x → 0⁻ significa por la izquierda (x un poco por debajo de 0), x → 0⁺ por la derecha. El límite bilateral existe solo cuando ambos límites laterales existen y coinciden. Por eso 1/x en 0 tiene un límite por la derecha de ∞ y uno por la izquierda de −∞, pero no tiene límite bilateral. Cuando f(x) solo está definida en un lado, como sqrt(x) en 0, la calculadora devuelve el límite de ese lado y te dice que eso es lo que hizo.
- ¿Cuándo puedo usar la regla de L'Hôpital?
- Solo en las formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞. Entonces el límite de f/g es igual al límite de f′/g′, siempre que ese segundo límite exista. sin(x)/x en 0 es el caso clásico: las derivadas dan cos(x)/1, que vale 1 en x = 0. (1-cos(x))/x^2 necesita dos rondas: sin(x)/(2x) sigue siendo 0/0, y cos(x)/2 se estabiliza en 1/2. Usarla en cualquier otra cosa, como 1/0, da respuestas incorrectas, por eso los pasos nombran la forma antes de cada ronda.
- ¿Por qué (1 + 1/x)^x es igual a e cuando x tiende a infinito?
- Sustituir da 1^∞, que es indeterminado: la base se acerca a 1 mientras el exponente crece sin límite, y los dos efectos compiten. Toma el logaritmo natural: el exponente se convierte en x·ln(1 + 1/x), una forma 0·∞. Reescríbelo como ln(1 + 1/x)/(1/x), que es 0/0, y una ronda de L'Hôpital muestra que tiende a 1. Así que el límite original es e^1 = e ≈ 2,718281828. Es el mismo límite que define e en el interés compuesto, donde los intereses pagados n veces al año se acercan a la capitalización continua.
- ¿Por qué x·sin(1/x) tiene límite 0 si sin(1/x) no lo tiene?
- sin(1/x) sigue oscilando entre −1 y 1 cerca de 0, pero multiplicar por x aplasta esas oscilaciones. El producto nunca puede ser mayor que |x|, y |x| se reduce a 0, así que el producto no tiene otro destino que 0. Es el teorema del sándwich (o de la compresión). La tabla Acercándonos lo hace visible: los valores siguen cambiando de signo, pero cada uno es más pequeño que el anterior.
- ¿Cómo escribo funciones y qué muestra “Lo leímos como”?
- Usa + - * / ^ y paréntesis, con pi, e, sqrt, abs, exp, ln (logaritmo natural), log (base 10), sin, cos, tan, sec, csc, cot, asin, acos y atan. Puedes omitir el signo de multiplicación (2x, 3sin(x), x(x+1)) y los paréntesis en argumentos simples (sinx). La línea de eco reescribe lo que escribiste con cada multiplicación como · y paréntesis extra donde importa la precedencia. Escribe x^2-1/x-1 y muestra x^2 − (1/x) − 1, lo que te dice enseguida que querías (x^2-1)/(x-1).
- ¿Qué tan exactas son las respuestas?
- Cuando el álgebra resuelve un límite, el valor se calcula con la expresión simplificada y se ajusta a una forma exacta: un número entero, una fracción como 1/2, un múltiplo de π, una raíz como √2/2 o una potencia de e. El decimal se muestra al lado con 10 cifras significativas. Cuando un límite solo puede leerse a partir de los números, la respuesta se marca como Numérica y la tabla muestra los valores de los que salió. Cerca del punto, la resta en coma flotante acaba convirtiéndose en ruido, así que la tabla se detiene antes de que eso pase en lugar de mostrar filas engañosas.
