- ¿Qué es un problema de diamante?
- Un problema de diamante es un cuadrado dibujado sobre una de sus puntas y dividido en cuatro triángulos. Las dos casillas laterales contienen una pareja de números; la de arriba contiene su producto y la de abajo su suma. Te dan dos de las cuatro y te piden el resto. Aparece en el currículo CPM Core Connections, en torno a Álgebra 1, normalmente un capítulo o dos antes de la factorización, y existe porque 'encuentra dos números con este producto y esta suma' es justo el paso que necesitas después para factorizar x² + bx + c. El diamante es el ejercicio; la factorización es lo que se está practicando.
- ¿Cómo se resuelve un problema de diamante cuando te dan el producto y la suma?
- A mano, haces la lista de parejas de factores del producto y compruebas cuál suma lo que debe. Para un producto de 24 y una suma de 10: 1 y 24 suman 25, 2 y 12 suman 14, 3 y 8 suman 11, 4 y 6 suman 10: ahí está. Cuando los números no colaboran, el camino fiable es el álgebra: los dos números son las raíces de x² − Sx + P = 0, así que calculas el discriminante S² − 4P, sacas su raíz cuadrada y repartes la suma a cada lado. Ese es el método que muestra esta página en el procedimiento, porque nunca depende de dar con una pareja por suerte.
- ¿Y si el producto es negativo?
- Entonces un número es positivo y el otro negativo: es la regla de signos más útil de todo el tema. Que la suma sea positiva o negativa te dice cuál de los dos es mayor en valor absoluto: un producto de −24 con una suma de −2 da 4 y −6, porque el negativo tiene que ser el mayor de la pareja para arrastrar el total por debajo de cero. Si el producto es positivo y la suma negativa, los dos números son negativos. Los estudiantes pierden más puntos por errores de signo en estos ejercicios que por la aritmética, así que el procedimiento de esta página siempre muestra los signos de forma explícita en lugar de esconderlos.
- ¿Y si solo me dan un número y la suma?
- Resta. Si la casilla izquierda es 5 y la suma es 2, la casilla derecha es 2 − 5 = −3, y el producto es 5 × −3 = −15. Si te dan un número y el producto, divide: 56 ÷ 7 = 8, y luego suma para obtener la suma. Las dos cosas son mucho más rápidas que la dirección de producto y suma, y por eso es raro que la mayoría de los solucionadores online no las acepten: una hoja de ejercicios te las pone constantemente. Escribe en las dos casillas que tengas y esta página elige sola el camino correcto.
- ¿Por qué a veces obtengo un decimal en lugar de dos números enteros?
- Porque no existe una pareja de enteros para esos dos valores. Un producto de 1 y una suma de 3 da 2.6180 y 0.3820 (resulta que son el cuadrado del número áureo y su inverso), y la página avisa de que la pareja no es entera. Los problemas de diamante casi siempre están pensados para dar enteros, así que una respuesta decimal suele indicar que un dígito o un signo se escribió mal en algún sitio. Tómalo como una señal para revisar tus datos, no como la respuesta que debías encontrar.
- ¿Por qué a veces dice que ningún par de números reales cumple eso?
- Porque pediste un producto demasiado grande para la suma que diste. Dos números que suman S solo pueden multiplicarse hasta un máximo de S²/4, que se alcanza cuando son dos mitades iguales; así que una suma de 2 limita el producto a 1, y pedir 10 es imposible con números reales. Algebraicamente, el discriminante S² − 4P se ha vuelto negativo y las raíces son un par complejo. La página te dice el producto máximo que puede alcanzar tu suma, porque ese número suele señalar directamente la errata.
- ¿Admite fracciones?
- Sí, y de forma exacta. Escribe 1/2 y 1/3 y obtienes un producto de 1/6 y una suma de 5/6, no 0.16666666666666666, que es lo que verías en una página que hace la aritmética con decimales normales. Las fracciones entran como fracciones y salen como fracciones; si escribes decimales, recibes decimales, así que 0.1 y 0.2 dan 0.02 y 0.3 en lugar del 0.020000000000000004 que produce la coma flotante. Los problemas de diamante de CPM usan fracciones con la suficiente frecuencia como para que esto sea la diferencia entre una página útil y una confusa.
- ¿Qué relación tiene esto con factorizar una cuadrática?
- Directa. Para factorizar x² + 7x + 12 necesitas dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7: un problema de diamante con el producto arriba y el coeficiente de x abajo. Resuélvelo (3 y 4) y la factorización sale sola: (x + 3)(x + 4). Para una cuadrática con coeficiente principal, como 2x² + 7x + 3, el diamante lleva el producto a·c arriba y b abajo, que es el método de 'dividir el término medio'. Si quieres la factorización completa y no solo la pareja, la calculadora de fórmula cuadrática sigue desde aquí.
- ¿Puedo llenar tres casillas?
- Puedes escribir en las cuatro si quieres: la página conserva las dos que tocaste más recientemente y vuelve a resolver a partir de ellas, recalculando el resto. Es intencional: cuando corriges un número que ya escribiste, quieres que la página siga tu última idea en lugar de atarte a tus dos primeras entradas o mostrarte una contradicción. Borra una casilla y las respuestas derivadas se borran con ella.
- ¿Lo que escribo se envía a algún sitio?
- No. Todo funciona en tu navegador, así que nada sale de la página y al cerrar la pestaña se borra. No hay cuenta, no hay límite de diamantes que resolver y el procedimiento no se esconde tras una suscripción: el método es lo que vale la pena tener, así que es lo que está en pantalla.
