Производная — это полкурса матанализа и отдельные задания в профильном ЕГЭ: найти y′ по формуле, найти точку максимума, прочитать производную по графику. Этот калькулятор находит производную любой функции от x и показывает каждый шаг по той же таблице производных, что и в учебнике. Пример из экономики: если выпуск x единиц стоит C(x) = 0,02x² + 5x + 800 рублей, вводите 0.02x^2 + 5x + 800 и получаете (1/25)*x + 5. При x = 100 каждая следующая единица обходится в 9 ₽ — это предельные издержки. Важно: в поле f(x) дробную часть отделяют точкой, 0.02, а не 0,02.
Что такое производная?
Производная показывает, как быстро что-то меняется. Вы даёте ей функцию, а она возвращает новую функцию, значение которой в каждой точке x равно наклону исходной кривой в этой точке. Введите x^2 в калькулятор производных и получите 2*x: при x = 3 кривая поднимается на 6 единиц на каждую единицу вправо.
Ньютон и Лейбниц пришли к этой идее независимо друг от друга в конце XVII века и до конца жизни спорили, кто был первым. Мы до сих пор пользуемся обеими записями. Точка Ньютона и штрих Лагранжа (f′) означают то же самое, что и dy/dx Лейбница.
Производные встречаются далеко за пределами уроков математики. Скорость — это производная координаты. Ускорение — производная скорости. Предельные издержки — производная кривой затрат. Каждый раз, когда кто-то спрашивает «насколько быстро это меняется прямо сейчас?», ответ — производная.
Многие онлайн-решатели по математике отдают ответ бесплатно, а за решение берут деньги. Шаги спрятаны за значком Pro, обязательной регистрацией или дневным лимитом, который заканчивается посреди домашнего задания. Этот калькулятор производных показывает ответ и каждый шаг, каждый раз, а потом просто отпускает вас. Вычисления идут в вашем браузере, так что ничего из введённого никуда не уходит.
Как пользоваться калькулятором производных
- Введите функцию в поле f(x) так, как написали бы её в тетради:
3x^2 + sin(x),x*e^x,(x^2+1)/(x-1). Знак умножения можно пропускать (2x,xsin(x)). Переменная только одна — x. - Смотрите, как появляется ответ. Кнопки «Вычислить» нет. Результат обновляется через четверть секунды после того, как вы перестали печатать.
- Выберите порядок в Order (порядок), если нужна не только первая производная. f′ — первая, f″ — вторая и так далее до f⁽⁵⁾.
- Необязательно: введите точку в Evaluate at (вычислить в точке), чтобы получить наклон в ней. Подойдёт число,
pi,eили постоянное выражение вродеpi/4. Десятичная запятая, как в2,5, читается как 2.5. - Прочитайте шаги под заголовком How we got there (как мы это получили). Каждая строка называет правило по-английски и показывает его на ваших собственных слагаемых.
- Нажмите Copy derivative (скопировать производную), чтобы забрать ответ простым текстом в конспект или в программу для построения графиков.
Страница открывается с уже введённой 3x^2 + sin(x), так что вы видите 6*x + cos(x) и три шага ещё до того, как что-то нажали. Весь процесс такой: открыть, ввести, прочитать, уйти.
Правила, на которых держится любая производная
Не нужно каждый раз считать предел, чтобы продифференцировать. Короткий список правил покрывает почти все функции, которые встречаются в первом курсе матанализа, и калькулятор использует ровно их:
Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Производная произведения: (f·g)′ = f′g + fg′
Производная частного: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
Производная сложной функции: f(g(x))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Добавьте табличные производные sin, cos, tan, eˣ, ln и остальных — и разобрать можно почти что угодно. Весь фокус в том, чтобы понять, какое правило применять первым. Именно здесь случается большинство ошибок, и поэтому шаги важнее последней строки.
Разобранный пример: x·sin(2x) в точке x = 1
Введите x*sin(2x) и поставьте в Evaluate at 1. Калькулятор выдаст sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) и два шага:
- Product rule (производная произведения):
(x*sin(2*x))' = (x)'*sin(2*x) + x*(sin(2*x))'. Производная x равна 1, поэтому первая половина — простоsin(2*x). - Chain rule (производная сложной функции):
(sin(2*x))' = cos(2*x)*(2*x)' = 2*cos(2*x). Внешняя функция — sin, внутренняя — 2x, и производная внутренней, 2, выходит вперёд.
Сложите половины — получится sin(2*x) + 2*x*cos(2*x). При x = 1 это sin(2) + 2·cos(2), то есть примерно 0,9093 − 0,8323. В поле значения стоит 0.0770038. Кривая там почти плоская и поднимается чуть меньше чем на 0,08 единицы на единицу x.
Если в вашей домашней работе вышло sin(2x) + x·cos(2x), шаг с производной сложной функции покажет, куда именно делась потерянная двойка.
Частые производные, проверенные на калькуляторе
Каждая строка ниже прогнана через калькулятор. Средний столбец — это ровно тот текст, который Copy derivative кладёт в буфер обмена, а последний — название правила, которое вы увидите в шагах (по-английски, с переводом).
| Вы вводите | Производная | Правило в шагах |
|---|---|---|
x^5 | 5*x^4 | Power rule (производная степени) |
x^-2 | -2/x^3 | Power rule (производная степени) |
x^(1/3) | 1/(3*x^(2/3)) | Power rule (производная степени) |
sqrt(x) | 1/(2*sqrt(x)) | Root rule (производная корня) |
e^x | e^x | Exponential rule (показательная функция) |
2^x | 2^x*ln(2) | Exponential rule (показательная функция) |
ln(x) | 1/x | Log rule (логарифм) |
log(x) | 1/(x*ln(10)) | Log rule (логарифм) |
cos(x) | -sin(x) | Trig rule (тригонометрия) |
tan(x) | sec(x)^2 | Trig rule (тригонометрия) |
asin(x) | 1/sqrt(1 - x^2) | Inverse trig rule (обратные тригонометрические) |
atan(x) | 1/(1 + x^2) | Inverse trig rule (обратные тригонометрические) |
sin(x^2) | 2*x*cos(x^2) | Chain rule (сложная функция) |
(3x+1)^4 | 12*(3*x + 1)^3 | Chain rule (сложная функция) |
x^2*e^x | 2*x*e^x + x^2*e^x | Product rule (произведение) |
x^x | x^x*(ln(x) + 1) | Logarithmic differentiation (логарифмическое дифференцирование) |
На двух строках часто спотыкаются. log(x) здесь — логарифм по основанию 10 (в школе его пишут lg x), поэтому в его производной в знаменателе стоит ln(10). Если нужен натуральный логарифм, пишите ln(x). А x^x не подходит ни под производную степени, ни под показательную функцию, потому что x стоит и в основании, и в показателе. Калькулятор переходит к логарифмическому дифференцированию и прямо об этом пишет.
Обратите внимание, как ответы не выглядят. Вы не увидите -2*x^(-2 - 1) или брошенного x/x. Показатели сворачиваются в точные дроби, отрицательные степени записываются дробями, подобные слагаемые приводятся. Введите sin(x)^2 + cos(x)^2 — и ответ будет чистый 0, как и положено.
Как найти максимум с помощью второй производной
Первая производная показывает, где кривая горизонтальна. Вторая говорит, вершина это или впадина. Вот вся проверка на f(x) = x³ − 6x² + 9x.
Введите x^3 - 6x^2 + 9x с порядком f′. Получится 3*x^2 - 12*x + 9, что раскладывается как 3(x − 1)(x − 3). Вычислите в точках 1 и 3: обе дают 0. Это две стационарные точки.
Теперь переключите порядок на f″. Ответ — 6*x - 12, и в шагах f′ показана промежуточной строкой перед повторным дифференцированием. Вычислите в 1 — получите -6. Минус означает, что кривая выпукла вверх, значит x = 1 — точка локального максимума, в точке (1, 4). Вычислите в 3 — получите 6. Плюс означает выпуклость вниз, значит x = 3 — точка локального минимума, в точке (3, 0).
Идите дальше до f‴ — получите 6. На f⁽⁴⁾ ответ 0. У кубической функции производные заканчиваются после третьей, и калькулятор показывает, как это происходит.
Совет: в задачах на движение вводите координату, а время обозначайте через x. -4.9x^2 + 20x — это мяч, подброшенный вверх со скоростью 20 м/с. Его первая производная в точке 2 равна 0.4, то есть мяч ещё поднимается, едва-едва. Вторая производная — постоянная -49/5, то есть −9,8 м/с², ускорение свободного падения.
Особые случаи и ограничения
В некоторых точках производной нет, и хороший калькулятор должен так и сказать, а не печатать число.
- Функция не определена в вашей точке.
ln(x)в точке-1— классическая ловушка. Формула 1/x спокойно вернула бы −1, но ln(−1) не существует, так что там нет кривой, у которой мог бы быть наклон. Калькулятор сначала проверяет f и сообщает, что f′ там не определена. - Изломы и точки возврата. У
abs(x)в точке0наклон слева −1, а справа 1, так что единого наклона нет.x^(1/3)в точке0уходит вертикально вверх. Оба случая возвращаются как «не определена». - Формула ломается, а наклон есть. У
abs(x)^3в точке0формула даёт 0/0, хотя кривая там гладкая. Калькулятор измеряет наклон с обеих сторон, получает 0 и добавляет пометку, что значение получено из чисел, а не из формулы. - Огромные значения.
e^xв точке1000слишком велико для любого компьютерного числа. Вы увидите сообщение «That slope is too big to show. Try a smaller x.» (наклон слишком велик, попробуйте x поменьше).
Рамки выбраны сознательно: одна переменная, x, до 5-й производной. Буквы вроде a или k пока не поддерживаются, как и sinh, cosh и tanh. Частные производные и неявное дифференцирование — это другие задачи, и в этот инструмент они не входят.
Похожие вычисления
Интегрирование — это дифференцирование наоборот. Калькулятор интегралов (на английском) понимает ту же запись функций, так что первообразную можно проверить, продифференцировав её здесь.
Производная определяется через предел. Калькулятор пределов (на английском) показывает, что происходит, когда x стремится к значению, — удобно, когда формула упирается в 0/0.
Увидеть кривую полезно. Вставьте функцию в построитель графиков (на английском) и проверьте, что найденный наклон совпадает с картинкой. Для наклона прямой через две точки проще калькулятор наклона. А если f′ оказалась квадратичной, как 3*x^2 - 12*x + 9 выше, калькулятор квадратного уравнения найдёт, где она обращается в ноль.
Частые вопросы
Почему производная e^x — это просто e^x?
Потому что e — единственное основание, при котором скорость роста равна текущему значению. У любой показательной функции aˣ производная aˣ·ln(a), а ln(e) = 1, так что лишний множитель исчезает. Попробуйте 2^x — получите 2^x*ln(2). Поставьте для e^x порядок 5 — ответ всё равно e^x.
Чем отличаются f′(x), dy/dx и y′?
Для ответа — ничем. Это три записи одной и той же производной. f′(x) идёт от Лагранжа, dy/dx — от Лейбница, а y′ — короткая запись, когда y = f(x). Калькулятор использует штрихи: f′, f″, f‴, затем f⁽⁴⁾ и f⁽⁵⁾.
Он умеет частные производные или неявное дифференцирование?
Нет. Этот инструмент дифференцирует функции одной переменной, x. Частным производным нужно несколько переменных, а неявному дифференцированию — уравнение с x и y. Это отдельные задачи, а калькулятор производных, который пытается уметь всё, обычно делает каждую часть неудобнее.
Почему моя десятичная дробь превратилась в обыкновенную?
Калькулятор считает точно, поэтому 4.9 превращается в 49/10. Производная -4.9x^2 + 20x возвращается как -(49/5)*x + 20, то есть −9,8x + 20. Это то же самое число, и оно никогда не уползёт в шум округления вроде 9.800000000000001. Значения в точке по-прежнему выводятся десятичными дробями.
Пользоваться калькулятором производных для домашки — это списывание?
Зависит от того, как пользоваться. Переписать последнюю строку — ничему не научиться. Сначала решить самому, а потом сверить своё решение с шагами — так находится та самая строка, где потерялся знак или забылась производная сложной функции. Когда шаги спрятаны за платным доступом, эта вторая привычка обходится дорого. Здесь они просто есть.
Работает ли он на телефоне?
Да. Это одна карточка с тремя полями, она помещается на экран телефона, а вычисления идут прямо в браузере. На сервер ничего не отправляется, так что слабая связь не тормозит работу, когда страница уже загрузилась.