Как найти объём треугольной призмы? По школьной формуле V = Sосн × H: площадь треугольника в основании умножить на высоту призмы. Учти разницу в словах. В учебнике геометрии треугольник — это основание призмы, а H — её высота. В калькуляторе треугольник называется сечением: поля «Base (b)» и «Height (h)» — это сторона треугольника и высота, проведённая к ней, а «Length (L)» — это и есть высота прямой призмы. Пример из жизни: чердак под двускатной крышей с фронтоном 6 м в ширину и 2 м в высоту, дом длиной 10 м. Объём = ½ × 6 × 2 × 10 = 60 м³. Так же считаются задачи ОГЭ и ЕГЭ про прямую треугольную призму.
Что такое треугольная призма
Треугольная призма — объёмная фигура с двумя параллельными треугольными гранями («торцами», или основаниями), которые соединены тремя прямоугольными боковыми гранями. Представь шоколадку Toblerone — это и есть треугольная призма. Форма треугольника задаёт профиль призмы, а длина призмы — то, насколько далеко она тянется.
Калькулятор Microapp считает объём по формуле и заодно несколько полезных величин: площадь сечения, площадь поверхности и гипотенузу для призмы с прямоугольным треугольником в основании.
• Объём = ½ × 4 × 3 × 20 = ½ × 12 × 20 = 120 см³
• Площадь сечения = ½ × 4 × 3 = 6 см²
• Длина × сечение = 20 × 6 = 120 см³ ✓
Формула по частям
V = (½ × основание × высота) × длина. Две части:
- (½ × основание × высота) — площадь треугольного сечения. Формула работает, потому что площадь любого треугольника равна ½ × основание × высота, проведённая к нему, — какой бы формы ни был треугольник.
- × длина — «вытягивает» плоский треугольник в объёмную фигуру. Умножь площадь любого сечения на длину призмы — и получишь её объём. Это верно для цилиндров, прямоугольных коробок, шестиугольных призм — для всего, у чего сечение одинаковое по всей длине.
Прямоугольный треугольник и другие треугольники
Формула V = ½ × основание × высота × длина работает для любого треугольника — но «высота» должна быть перпендикулярной высотой, а не наклонной стороной. У прямоугольного треугольника высота совпадает с одним из катетов (тем, что перпендикулярен основанию). Для других треугольников:
| Тип треугольника | Как найти высоту |
|---|---|
| Прямоугольный | Высота равна катету, перпендикулярному основанию. |
| Равносторонний (сторона s) | Высота = s × √3 / 2 ≈ 0,866 × s |
| Равнобедренный (основание b, боковые стороны s) | Высота = √(s² − (b/2)²) (теорема Пифагора для половины треугольника) |
| Разносторонний (три разные стороны) | Найди площадь по формуле Герона, затем высота = 2 × площадь / основание |
Площадь поверхности
Площадь поверхности треугольной призмы — сумма всех 5 граней:
- 2 треугольных основания: 2 × (½ × основание × высота) = основание × высота
- 3 прямоугольные боковые грани: площадь каждой = (одна из сторон треугольника) × длина. Итого = (периметр треугольника) × длина.
У призмы с прямоугольным треугольником с катетами b и h гипотенуза равна √(b² + h²) (по Пифагору), значит, периметр — b + h + √(b² + h²). Калькулятор Microapp считает площадь поверхности автоматически именно для прямоугольного треугольника; для треугольников другой формы периметр придётся посчитать вручную.
Где встречаются треугольные призмы
Оптические призмы. Классическая стеклянная призма, которая раскладывает белый свет в радугу, — треугольная. Треугольное сечение преломляет свет под разными углами в зависимости от длины волны.
Архитектура и строительство. Пространство под двускатной крышей — треугольная призма, а стропильные фермы делают треугольными, потому что треугольник жёсткий сам по себе (под нагрузкой он не перекашивается, как четырёхугольник). Двускатная палатка — тоже треугольная призма.
Упаковка. Toblerone — самый известный пример, но и другие компактные упаковки делают в виде треугольной призмы, чтобы выделиться на полке или поместиться в неудобное место.
Противооткатные упоры. Клин, который подкладывают под колесо машины на уклоне, — треугольная призма: широкая грань лежит на земле, наклонная упирается в колесо, и форма не даёт клину опрокинуться.
Частые ошибки
Забыть ½. Площадь треугольника — ½ × основание × высота, а НЕ основание × высота. Самая частая ошибка школьников. Половина берётся оттого, что треугольник занимает ровно половину прямоугольника, в который он вписан.
Перепутать высоту с гипотенузой. «Высота» в формуле — перпендикулярное расстояние, а не наклонная сторона. Если у прямоугольного треугольника катеты 3 и 4, высота (к основанию длиной 4) равна 3, а не гипотенузе 5.
Смешать единицы. Если основание в сантиметрах, а длина в дюймах, результат будет неверным. Сначала переведи всё в одни единицы.
Спутать объём и площадь поверхности. Объём измеряет пространство внутри (единицы в кубе). Площадь поверхности — всю внешнюю «оболочку» (единицы в квадрате). Это разные физические величины, напрямую их не сравнивают.
Похожие инструменты
Для объёма тел с круглым сечением есть калькулятор объёма цилиндра. Чтобы посчитать только площадь треугольного сечения, открой инструмент площадь треугольника. Гипотенузу прямоугольного треугольника (она нужна для площади поверхности такой призмы) найдёт калькулятор теоремы Пифагора.