- ¿Cómo se multiplican dos matrices?
- Cada elemento de A × B es una fila de A por una columna de B: multiplica los pares y súmalos. Para A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]], el elemento de arriba a la izquierda es 1·5 + 2·7 = 19, y la respuesta completa es [[19, 22], [43, 50]]. Solo funciona cuando A tiene tantas columnas como filas tiene B, y el resultado toma el número de filas de A y el de columnas de B, así que una 2×3 por una 3×4 da una 2×4. El orden también importa. B × A para el mismo par es [[23, 34], [31, 46]], una matriz distinta.
- ¿Cómo se calcula el determinante?
- La calculadora reduce A por filas hasta una matriz triangular superior, multiplica la diagonal y cambia el signo una vez por cada intercambio de filas. Sumar un múltiplo de una fila a otra no cambia el determinante, y por eso funciona. Para [[2, −3, 1], [2, 0, −1], [1, 4, 5]], los pasos son F2 → F2 − F1, F3 → F3 − 1/2·F1 y F3 → F3 − 11/6·F2. Eso deja 2, 3 y 49/6 en la diagonal, y 2 · 3 · 49/6 = 49. En una matriz grande esto lleva muchos menos pasos que el desarrollo por cofactores, y Mostrar operaciones de fila las lista todas.
- ¿Cómo se halla la inversa de una matriz?
- Escribe A junto a la matriz identidad como [A | I] y reduce por filas hasta que el lado izquierdo sea I. El lado derecho es entonces A⁻¹. Para [[1, 2], [3, 4]], hacen falta tres pasos: F2 → F2 − 3·F1, F2 → −1/2·F2 y F1 → F1 − 2·F2. La respuesta es [[−2, 1], [3/2, −1/2]]. Para una 2×2 también hay un atajo: intercambia la diagonal, cambia el signo de los otros dos elementos y divide entre el determinante, que aquí es −2. Multiplica A por la respuesta para comprobarla y obtendrás la matriz identidad.
- ¿Por qué dice que mi matriz no tiene inversa?
- Su determinante es 0, así que es singular. Pasa cuando una fila es combinación de las demás, lo que aplasta el espacio a una dimensión menor que no se puede deshacer. En [[1, 2], [2, 4]], la segunda fila es exactamente el doble de la primera. La primera operación, F2 → F2 − 2·F1, convierte la fila 2 en ceros, así que no hay pivote para la columna 2. Las operaciones de fila se siguen mostrando, para que veas dónde se atascó la eliminación. Una matriz que no es cuadrada nunca tiene inversa, así que la calculadora te pide igualar filas y columnas primero.
- ¿Qué es la RREF y qué me dice el rango?
- La forma escalonada reducida por filas (RREF) es donde termina la eliminación de Gauss-Jordan: cada pivote es un 1, es el único elemento no nulo de su columna, y las filas de ceros quedan abajo. Para [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], la RREF es [[1, 0, −1], [0, 1, 2], [0, 0, 0]]. El rango es el número de pivotes, 2 aquí, y cuenta cuántas filas son realmente independientes. Si una matriz contiene los coeficientes de un sistema de ecuaciones, un rango menor que el número de incógnitas significa que hay variables libres: infinitas soluciones, o ninguna.
- ¿Por qué muestra fracciones en lugar de decimales?
- Porque las fracciones son exactas, y la tarea de álgebra lineal suele pedir la respuesta exacta. Cada elemento se guarda como una fracción de dos números enteros, así que nada se redondea por el camino. Escribir 0.1 y 0.2 en A + B da exactamente 3/10, no el 0.30000000000000004 que produce la aritmética de coma flotante. La inversa de [[2, 1], [1, 3]] sale como [[3/5, −1/5], [−1/5, 2/5]]. Cambia a Decimales y verás 0.6, −0.2, −0.2 y 0.4, redondeados a 6 decimales como máximo. El selector solo cambia cómo se ve la respuesta, nunca el cálculo.
- ¿Puedo pegar una matriz desde Excel o Google Sheets?
- Sí. Copia un rango, haz clic en cualquier celda de A o B y pega. Toda la matriz se reemplaza y cambia de tamaño para encajar. Las tabulaciones, los espacios y las comas separan columnas, mientras que los saltos de línea y los punto y coma separan filas, así que el formato de MATLAB [1 2; 3 4] también funciona. Las filas cortas se completan con 0, y lo que pase de 6 filas o 6 columnas se descarta con un aviso. En sentido contrario, Copiar escribe filas separadas por tabulaciones que se pegan directamente en una hoja de cálculo, y Copiar LaTeX escribe una bmatrix como \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}. Dentro de una sola celda, usa punto para los decimales, porque la coma es ambigua.
- ¿Cómo funcionan las potencias de matrices?
- Aⁿ es A multiplicada por sí misma n veces, así que A³ = A × A × A. Solo las matrices cuadradas tienen potencias, porque A × A necesita que las columnas de A coincidan con sus filas. A⁰ es la matriz identidad, y la calculadora acepta n de 0 a 20. Las potencias aparecen en cadenas de Markov, recorridos en grafos y recurrencias. El ejemplo clásico es la matriz de Fibonacci: [[1, 1], [1, 0]] elevada a 10 es [[89, 55], [55, 34]], que contiene los números de Fibonacci 11.º, 10.º y 9.º. Para una potencia negativa, halla primero A⁻¹, pulsa Usar como A y luego elévala a la potencia positiva.
- ¿Qué hace la transpuesta?
- Convierte las filas en columnas. La fila 1 de A pasa a ser la columna 1 de Aᵀ, así que una matriz 2×3 se convierte en una 3×2. Para [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], la transpuesta es [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]. Una matriz igual a su propia transpuesta se llama simétrica, como las matrices de covarianza en estadística. Hay una regla que conviene saber para las demostraciones: la transpuesta de un producto invierte el orden, así que (A × B)ᵀ = Bᵀ × Aᵀ. Una matriz y su transpuesta siempre tienen el mismo determinante y el mismo rango.
