En Cálculo I y en segundo de bachillerato, derivar es el pan de cada día: producto, cociente, regla de la cadena, pendiente en un punto. Esta calculadora te da la derivada de cualquier función de x con cada paso a la vista. Un ejemplo de economía: si fabricar x unidades cuesta C(x) = 0,02x² + 5x + 800 euros, escribes 0.02x^2 + 5x + 800 y obtienes (1/25)*x + 5. En x = 100, cada unidad extra cuesta 9 €: el coste marginal. Con pesos, igual. Ojo: en la casilla f(x) los decimales van con punto, 0.02 y no 0,02.
¿Qué es una derivada?
Una derivada te dice lo rápido que cambia algo. Le das una función y te devuelve otra cuyo valor en cada x es la pendiente de la curva original en ese punto. Escribe x^2 en la calculadora de derivadas y obtienes 2*x: en x = 3 la curva sube 6 unidades por cada unidad que avanzas a la derecha.
Newton y Leibniz llegaron a la idea por separado a finales del siglo XVII, y discutieron el resto de su vida sobre quién llegó primero. Seguimos usando las notaciones de los dos. El punto de Newton y la prima de Lagrange (f′) significan lo mismo que el dy/dx de Leibniz.
Las derivadas aparecen mucho más allá de la clase de cálculo. La velocidad es la derivada de la posición. La aceleración es la derivada de la velocidad. El coste marginal es la derivada de una curva de costes. Cada vez que alguien pregunta "¿qué tan rápido está cambiando esto ahora mismo?", la respuesta es una derivada.
Muchos resolvedores de matemáticas en internet te dan el resultado gratis y te cobran el cómo. Los pasos están detrás de una insignia Pro, de un registro obligatorio o de un cupo diario que se acaba a mitad de la hoja de ejercicios. Esta calculadora de derivadas te enseña el resultado y cada paso, siempre, y luego te deja irte. El cálculo se hace en tu navegador, así que nada de lo que escribes sale de tu dispositivo.
Cómo usar la calculadora de derivadas
- Escribe tu función en la casilla f(x) como la escribirías en papel:
3x^2 + sin(x),x*e^x,(x^2+1)/(x-1). Puedes omitir el signo de multiplicar (2x,xsin(x)). La única variable es x. - Mira cómo aparece el resultado. No hay botón de Calcular. Se actualiza un cuarto de segundo después de que dejas de escribir.
- Elige un orden en Order (orden) si necesitas más que la primera derivada. f′ es la primera, f″ la segunda, y así hasta f⁽⁵⁾.
- Opcional: escribe un punto en Evaluate at (evaluar en) para obtener la pendiente ahí. Sirven un número,
pi,eo una expresión constante comopi/4. Una coma decimal como2,5se lee como 2.5. - Lee los pasos bajo How we got there (cómo llegamos). Cada línea nombra la regla, en inglés, y la muestra con tus propios términos.
- Pulsa Copy derivative (copiar derivada) para llevarte el resultado en texto plano a tus apuntes o a una herramienta de gráficas.
La página abre con 3x^2 + sin(x) ya escrito, así que ves 6*x + cos(x) y tres pasos antes de tocar nada. Ese es todo el flujo: abrir, escribir, leer, irte.
Las reglas detrás de cada derivada
No necesitas un límite cada vez que derivas. Una lista corta de reglas cubre casi todas las funciones que verás en un primer curso de cálculo, y la calculadora usa exactamente estas:
Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (f·g)′ = f′g + fg′
Regla del cociente: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Súmale las derivadas conocidas de sin, cos, tan, eˣ, ln y compañía, y puedes desarmar casi cualquier cosa. El truco está en saber qué regla usar primero. Ahí es también donde ocurren la mayoría de los errores, y por eso los pasos importan más que la última línea.
Ejemplo resuelto: x·sin(2x) en x = 1
Escribe x*sin(2x) y pon Evaluate at en 1. La calculadora devuelve sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) y dos pasos:
- Product rule (regla del producto):
(x*sin(2*x))' = (x)'*sin(2*x) + x*(sin(2*x))'. La derivada de x es 1, así que la primera mitad es simplementesin(2*x). - Chain rule (regla de la cadena):
(sin(2*x))' = cos(2*x)*(2*x)' = 2*cos(2*x). La función de fuera es sin, la de dentro es 2x, y la derivada de dentro, 2, sale delante.
Junta las dos mitades y tienes sin(2*x) + 2*x*cos(2*x). En x = 1 eso es sin(2) + 2·cos(2), o unos 0,9093 − 0,8323. La casilla del valor muestra 0.0770038. La curva está casi plana ahí: sube un poco menos de 0,08 unidades por cada unidad de x.
Si en tu tarea te salió sin(2x) + x·cos(2x), el paso de la regla de la cadena te enseña justo dónde se quedó el 2 que falta.
Derivadas comunes, comprobadas con la calculadora
Cada fila de abajo pasó por la calculadora. La columna del medio es el texto exacto que Copy derivative copia a tu portapapeles, y la última columna es el nombre de la regla que verás en los pasos (en inglés, con su traducción).
| Escribes | Derivada | Regla en los pasos |
|---|---|---|
x^5 | 5*x^4 | Power rule (regla de la potencia) |
x^-2 | -2/x^3 | Power rule (regla de la potencia) |
x^(1/3) | 1/(3*x^(2/3)) | Power rule (regla de la potencia) |
sqrt(x) | 1/(2*sqrt(x)) | Root rule (regla de la raíz) |
e^x | e^x | Exponential rule (regla exponencial) |
2^x | 2^x*ln(2) | Exponential rule (regla exponencial) |
ln(x) | 1/x | Log rule (regla del logaritmo) |
log(x) | 1/(x*ln(10)) | Log rule (regla del logaritmo) |
cos(x) | -sin(x) | Trig rule (regla trigonométrica) |
tan(x) | sec(x)^2 | Trig rule (regla trigonométrica) |
asin(x) | 1/sqrt(1 - x^2) | Inverse trig rule (trigonométricas inversas) |
atan(x) | 1/(1 + x^2) | Inverse trig rule (trigonométricas inversas) |
sin(x^2) | 2*x*cos(x^2) | Chain rule (regla de la cadena) |
(3x+1)^4 | 12*(3*x + 1)^3 | Chain rule (regla de la cadena) |
x^2*e^x | 2*x*e^x + x^2*e^x | Product rule (regla del producto) |
x^x | x^x*(ln(x) + 1) | Logarithmic differentiation (derivación logarítmica) |
Dos filas confunden a mucha gente. log(x) aquí significa logaritmo en base 10, así que su derivada lleva un ln(10) en el denominador. Usa ln(x) si quieres el logaritmo natural. Y x^x no encaja ni en la regla de la potencia ni en la exponencial, porque la x está en la base y en el exponente. La calculadora pasa a derivación logarítmica y te lo dice.
Fíjate en cómo no se ven las respuestas. No vas a ver -2*x^(-2 - 1) ni un x/x tirado por ahí. Los exponentes se reducen a fracciones exactas, las potencias negativas salen como cocientes y los términos semejantes se agrupan. Escribe sin(x)^2 + cos(x)^2 y la respuesta es un 0 limpio, como tiene que ser.
Cómo encontrar un máximo con la segunda derivada
La primera derivada te dice dónde la curva está plana. La segunda te dice si ese punto plano es una cima o un valle. Aquí va la prueba completa con f(x) = x³ − 6x² + 9x.
Escribe x^3 - 6x^2 + 9x con orden f′. Obtienes 3*x^2 - 12*x + 9, que se factoriza como 3(x − 1)(x − 3). Evalúa en 1 y en 3: los dos dan 0. Esos son los dos puntos planos.
Ahora cambia el orden a f″. La respuesta es 6*x - 12, y los pasos muestran f′ como línea intermedia antes de volver a derivar. Evalúa en 1 y obtienes -6. Negativo significa que la curva se dobla hacia abajo, así que x = 1 es un máximo local, en el punto (1, 4). Evalúa en 3 y obtienes 6. Positivo significa que se dobla hacia arriba, así que x = 3 es un mínimo local, en (3, 0).
Sigue hasta f‴ y obtienes 6. En f⁽⁴⁾ la respuesta es 0. A una cúbica se le acaban las derivadas después de tres, y la calculadora te enseña cómo pasa.
Consejo: para problemas de movimiento, escribe la posición usando x en lugar del tiempo. -4.9x^2 + 20x es una pelota lanzada hacia arriba a 20 m/s. Su primera derivada en 2 es 0.4, así que la pelota todavía sube, apenas. La segunda derivada es la constante -49/5, que es −9,8 m/s², la gravedad.
Casos límite y limitaciones
En algunos puntos no hay derivada, y una buena calculadora debería decirlo en vez de soltar un número.
- La función no está definida en tu punto.
ln(x)en-1es la trampa clásica. La fórmula 1/x devolvería −1 tan tranquila, pero ln(−1) no existe, así que no hay curva que tenga pendiente. La calculadora revisa f primero e indica que f′ no está definida ahí. - Esquinas y picos.
abs(x)en0tiene pendiente −1 por la izquierda y 1 por la derecha, así que ninguna pendiente única sirve.x^(1/3)en0sube en vertical. Las dos vuelven como no definidas. - La fórmula falla pero la pendiente existe.
abs(x)^3en0da 0/0 en su fórmula, y sin embargo la curva es suave ahí. La calculadora mide la pendiente por ambos lados, obtiene 0 y añade una nota diciendo que el valor salió de los números y no de la fórmula. - Valores enormes.
e^xen1000es demasiado grande para cualquier número de computadora. Verás el mensaje "That slope is too big to show. Try a smaller x." (la pendiente es demasiado grande para mostrarla; prueba con una x menor).
El alcance es deliberado: una variable, x, hasta la quinta derivada. Letras como a o k todavía no se admiten, y tampoco sinh, cosh ni tanh. Las derivadas parciales y la derivación implícita son otros trabajos y no forman parte de esta herramienta.
Cálculos relacionados
Integrar es derivar al revés. La calculadora de integrales (en inglés) lee la misma sintaxis de funciones, así que puedes comprobar una antiderivada derivándola aquí.
Las derivadas se definen como límites. La calculadora de límites (en inglés) muestra qué pasa cuando x se acerca a un valor, algo útil cuando una fórmula da 0/0.
Ver la curva ayuda. Pega tu función en la calculadora gráfica (en inglés) y comprueba que la pendiente que calculaste coincide con lo que muestra el dibujo. Para la pendiente de una recta entre dos puntos, la calculadora de pendiente es la herramienta más sencilla. Y cuando f′ resulta ser una cuadrática, como 3*x^2 - 12*x + 9 más arriba, la calculadora de fórmula cuadrática encuentra dónde vale cero.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la derivada de e^x es simplemente e^x?
Porque e es la única base en la que la tasa de crecimiento es igual al valor actual. Cualquier exponencial aˣ tiene derivada aˣ·ln(a), y ln(e) = 1, así que el factor extra desaparece. Prueba 2^x y obtienes 2^x*ln(2). Pon e^x en orden 5 y la respuesta sigue siendo e^x.
¿Qué diferencia hay entre f′(x), dy/dx e y′?
Ninguna, en lo que respecta al resultado. Son tres notaciones para la misma derivada. f′(x) viene de Lagrange, dy/dx de Leibniz, e y′ es la forma corta cuando y = f(x). La calculadora usa primas: f′, f″, f‴, y luego f⁽⁴⁾ y f⁽⁵⁾.
¿Puede hacer derivadas parciales o derivación implícita?
No. Esta herramienta deriva funciones de una sola variable, x. Las derivadas parciales necesitan varias variables, y la derivación implícita necesita una ecuación en x e y. Son trabajos distintos, y una calculadora de derivadas que intenta hacerlo todo suele volver cada parte más difícil de usar.
¿Por qué mi decimal se convirtió en fracción?
La calculadora hace aritmética exacta, así que 4.9 pasa a ser 49/10. La derivada de -4.9x^2 + 20x sale como -(49/5)*x + 20, que es −9,8x + 20. Es el mismo número, y nunca se desvía hacia ruido de redondeo como 9.800000000000001. Los valores en un punto se siguen mostrando como decimales.
¿Es hacer trampa usar una calculadora de derivadas para la tarea?
Depende de cómo la uses. Copiar la última línea no te enseña nada. Hacer el ejercicio primero y luego comparar tu desarrollo con los pasos es la forma de encontrar la línea exacta donde se te fue un signo o se te olvidó la regla de la cadena. Si los pasos están detrás de un muro de pago, ese segundo hábito sale caro. Aquí simplemente están.
¿Funciona en el móvil?
Sí. Es una sola tarjeta con tres campos, así que cabe en la pantalla del móvil, y el cálculo se hace en tu navegador. No se envía nada a un servidor, así que una mala señal no la hace más lenta una vez que la página cargó.