- Qual a diferença entre integral definida e indefinida?
- Uma integral indefinida é uma família de funções: toda F(x) cuja derivada é a sua f(x). É por isso que a resposta termina em + C, porque somar qualquer constante não muda a derivada. Uma integral definida é um número: a área com sinal sob f(x) entre dois limites, calculada como F(b) - F(a). A constante se cancela nessa subtração, então respostas definidas não têm + C. Para x^2, a integral indefinida é (1/3)*x^3 + C, e a integral definida de 0 a 1 é 1/3.
- Por que toda primitiva termina em + C?
- Porque a derivação joga as constantes fora. A derivada de x^3 é 3x^2, e também é a derivada de x^3 + 7 e de x^3 - 100. Quando você faz o caminho de volta, não dá para saber qual constante estava lá, então a resposta é escrita como x^3 + C para representar todas de uma vez. Esquecer o + C numa integral indefinida é um dos jeitos mais comuns de perder ponto numa prova de cálculo.
- Como a calculadora decide qual regra usar?
- Ela primeiro reescreve a função como uma soma de termos e depois compara cada termo com um conjunto fixo de regras. Uma potência simples de x recebe a regra da potência. e^x, sin, cos, tan e 1/cos(x)^2 vêm de uma tabela. Uma função de uma expressão linear, como cos(3x) ou (2x+1)^3, recebe uma substituição u = 3x ou u = 2x + 1. Uma potência de x multiplicada por e^x, sin, cos ou ln(x) recebe integração por partes. É a mesma ordem que os livros ensinam, e é por isso que os passos parecem resoluções comentadas e não uma caixa-preta.
- Quando usar integração por partes?
- Quando o integrando é um produto em que uma parte fica mais simples ao derivar e a outra continua fácil de integrar. A fórmula é ∫u dv = u*v - ∫v du. Para x*e^x, pegue u = x (a derivada é 1) e dv = e^x dx (a integral é e^x), o que dá x*e^x - ∫e^x dx = x*e^x - e^x + C. Para x^2*sin(x), você precisa aplicar duas vezes. Os passos mostram o atalho tabular: derive x^2 até virar uma constante, integre sin(x) em cada etapa e alterne os sinais.
- Por que diz que não há forma fechada para e^(-x^2)?
- Porque e^(-x^2), a curva em forma de sino por trás da distribuição normal, não tem uma primitiva feita de funções comuns. Isso é um resultado provado, não uma falha desta ferramenta. Os matemáticos deram um nome à integral dela, a função erro erf(x), justamente porque não dá para escrevê-la de outro jeito. Muitas funções de aparência inocente são assim, incluindo sin(x)/x e sqrt(1 + x^3). Mude para Definida e você ainda recebe o número: de 0 a 1, e^(-x^2) integra para cerca de 0,746824.
- Por que ela não integra 1/x^2 de -1 a 1?
- Porque 1/x^2 dispara para o infinito em x = 0, que fica entre os limites, então a área é infinita. Se você aplica a primitiva -1/x sem olhar, obtém F(1) - F(-1) = -1 - 1 = -2, uma área negativa para uma função que nunca é negativa. Essa é a armadilha clássica. Esta calculadora verifica o intervalo procurando pontos em que a função deixa de ser finita antes de calcular qualquer coisa, e avisa que não há resposta finita em vez de mostrar -2.
- Quão precisos são os valores das integrais definidas?
- Quando há uma primitiva simbólica, o valor vem de F(b) - F(a), e é exato sempre que a resposta é uma fração com denominador até 1.000 (você vê 1/3 ≈ 0,333333). Cada uma dessas respostas também é recalculada pela regra de Simpson adaptativa, um método numérico que divide o intervalo em pedaços até a estimativa parar de mudar, e o resultado só aparece se os dois concordarem. Respostas só numéricas são calculadas com tolerância de 1e-8 e mostradas com 6 algarismos significativos.
- O que significa ln(abs(x)) na integral de 1/x?
- É ln|x|, escrito em texto simples. O logaritmo natural ln(x) só existe para x positivo, mas 1/x também é definida para x negativo. O valor absoluto faz a primitiva funcionar dos dois lados do zero: a derivada de ln|x| é 1/x, seja x igual a 3 ou -3. Você vê o mesmo padrão com substituição, como (1/2)*ln(abs(2*x + 1)) para 1/(2x + 1).
- O que esta calculadora ainda não faz?
- Ela integra só funções de x, uma variável por vez, então nada de integrais duplas ou triplas e nada de limites no infinito. O conjunto de regras cobre potências, exponenciais, sin, cos, tan, secante ao quadrado, substituição linear e integração por partes. Ela não faz substituição trigonométrica, frações parciais nem resultados com funções trigonométricas inversas como arctan(x), então 1/(x^2 + 1) recebe a mensagem de sem forma fechada no modo Indefinida. O valor definido continua funcionando para todos esses.
- O que eu digito é enviado para algum lugar?
- Não. O leitor da expressão, o integrador e a conferência numérica rodam no seu navegador. Nada é enviado a um servidor, nada é armazenado, e fechar a aba apaga tudo. É também por isso que os resultados aparecem enquanto você digita, em vez de depois de uma ida e volta ao servidor.
