- Como a calculadora encontra um limite?
- Ela começa como você faria na prova: substitui o ponto. Se f(x) é contínua ali, esse valor é o limite e pronto. Se a substituição dá 0/0 ou ∞/∞, ela aplica a regra de L'Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente, por até três rodadas, e mostra cada derivada. Formas como 0·∞ são reescritas como fração primeiro, e potências como 1^∞ passam por e elevado ao limite de g·ln f. Toda resposta também é conferida com f(x) calculada em pontos cada vez mais próximos de x. Se a álgebra e os números discordam, você fica sabendo, em vez de receber um chute.
- O que significa "Não existe", e por que um limite não existiria?
- Um limite bilateral só existe quando f(x) vai para o mesmo valor pela esquerda e pela direita. 1/x em 0 não passa nesse teste: pela esquerda vai para −∞, pela direita para ∞. abs(x)/x salta de −1 para 1. O outro jeito de um limite não existir é a oscilação: sin(1/x) oscila entre −1 e 1 cada vez mais rápido conforme x se aproxima de 0 e nunca se estabiliza. O resultado diz qual dos dois aconteceu, e a tabela mostra a evidência.
- Qual a diferença entre limite lateral e limite bilateral?
- Um limite lateral só olha x chegando por uma direção. x → 0⁻ significa pela esquerda (x um pouco abaixo de 0), x → 0⁺ pela direita. O limite bilateral só existe quando os dois limites laterais existem e são iguais. Por isso 1/x em 0 tem limite à direita ∞ e limite à esquerda −∞, mas nenhum limite bilateral. Quando f(x) só existe de um lado, como sqrt(x) em 0, a calculadora devolve o limite desse lado e avisa que fez isso.
- Quando posso usar a regra de L'Hôpital?
- Só nas formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞. Aí o limite de f/g é igual ao limite de f′/g′, desde que esse segundo limite exista. sin(x)/x em 0 é o caso clássico: as derivadas dão cos(x)/1, que vale 1 em x = 0. (1-cos(x))/x^2 precisa de duas rodadas: sin(x)/(2x) ainda é 0/0, e cos(x)/2 se estabiliza em 1/2. Usar a regra em qualquer outra coisa, como 1/0, dá resposta errada — por isso os passos dizem qual é a forma antes de cada rodada.
- Por que (1 + 1/x)^x é igual a e quando x vai ao infinito?
- A substituição dá 1^∞, que é indeterminado: a base se aproxima de 1 enquanto o expoente cresce sem limite, e os dois efeitos brigam. Tire o logaritmo natural: o expoente vira x·ln(1 + 1/x), uma forma 0·∞. Reescreva como ln(1 + 1/x)/(1/x), que é 0/0, e uma rodada de L'Hôpital mostra que vai para 1. Então o limite original é e^1 = e ≈ 2,718281828. É o mesmo limite que define e nos juros compostos, quando juros pagos n vezes por ano se aproximam da capitalização contínua.
- Por que x·sin(1/x) tem limite 0 se sin(1/x) não tem?
- sin(1/x) continua oscilando entre −1 e 1 perto de 0, mas multiplicar por x esmaga essas oscilações. O produto nunca pode ser maior que |x|, e |x| encolhe até 0, então o produto não tem para onde ir a não ser 0. Esse é o teorema do confronto (ou do sanduíche). A tabela Chegando mais perto deixa isso visível: os valores ainda trocam de sinal, mas cada um é menor que o anterior.
- Como digito funções, e o que mostra "Lemos isto como"?
- Use + - * / ^ e parênteses, com pi, e, sqrt, abs, exp, ln (log natural), log (base 10), sin, cos, tan, sec, csc, cot, asin, acos e atan. Você pode pular o sinal de multiplicação (2x, 3sin(x), x(x+1)) e os parênteses em argumentos simples (sinx). A linha de eco reescreve sua entrada com cada multiplicação como · e parênteses extras onde a precedência importa. Digite x^2-1/x-1 e ela mostra x^2 − (1/x) − 1, o que avisa na hora que você queria dizer (x^2-1)/(x-1).
- Quão exatas são as respostas?
- Quando a álgebra resolve o limite, o valor é calculado a partir da expressão simplificada e associado a uma forma exata: um número inteiro, uma fração como 1/2, um múltiplo de π, uma raiz como √2/2 ou uma potência de e. O decimal aparece ao lado com 10 algarismos significativos. Quando um limite só pode ser lido pelos números, a resposta vem marcada como Numérica e a tabela mostra os valores de onde ela saiu. Perto do ponto, a subtração em ponto flutuante acaba virando ruído, então a tabela para antes disso em vez de mostrar linhas enganosas.
