- Como multiplicar duas matrizes?
- Cada elemento de A × B é uma linha de A vezes uma coluna de B: multiplique os pares e some. Para A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]], o elemento do canto superior esquerdo é 1·5 + 2·7 = 19, e a resposta completa é [[19, 22], [43, 50]]. Isso só funciona quando A tem tantas colunas quanto B tem linhas, e o resultado fica com o número de linhas de A e o de colunas de B, então uma 2×3 vezes uma 3×4 dá uma 2×4. A ordem também importa. B × A para o mesmo par é [[23, 34], [31, 46]], uma matriz diferente.
- Como o determinante é calculado?
- A calculadora escalona A até uma matriz triangular superior, multiplica a diagonal e troca o sinal uma vez para cada troca de linhas. Somar um múltiplo de uma linha a outra não muda o determinante, e é por isso que funciona. Para [[2, −3, 1], [2, 0, −1], [1, 4, 5]], os passos são R2 → R2 − R1, R3 → R3 − 1/2·R1 e R3 → R3 − 11/6·R2. Isso deixa 2, 3 e 49/6 na diagonal, e 2 · 3 · 49/6 = 49. Numa matriz grande, isso leva muito menos passos que a expansão por cofatores, e Mostrar operações de linha lista cada um.
- Como achar a inversa de uma matriz?
- Escreva A ao lado da matriz identidade como [A | I] e escalone até o lado esquerdo virar I. O lado direito é então A⁻¹. Para [[1, 2], [3, 4]], são três passos: R2 → R2 − 3·R1, R2 → −1/2·R2 e R1 → R1 − 2·R2. A resposta é [[−2, 1], [3/2, −1/2]]. Para uma 2×2 também há um atalho: troque os elementos da diagonal, troque o sinal dos outros dois e divida pelo determinante, que aqui é −2. Multiplique A pela resposta para conferir, e você recebe a matriz identidade.
- Por que diz que minha matriz não tem inversa?
- O determinante dela é 0, então ela é singular. Isso acontece quando uma linha é combinação das outras, o que achata o espaço numa dimensão menor que não dá para desfazer. Em [[1, 2], [2, 4]], a segunda linha é exatamente o dobro da primeira. A primeira operação de linha, R2 → R2 − 2·R1, transforma a linha 2 em zeros, então não há pivô para a coluna 2. As operações de linha continuam aparecendo, então você vê onde a eliminação travou. Uma matriz que não é quadrada nunca tem inversa, então a calculadora pede que você iguale linhas e colunas antes.
- O que é RREF, e o que o posto me diz?
- A forma escalonada reduzida por linhas (RREF) é onde a eliminação de Gauss-Jordan termina: cada pivô é 1, é o único elemento não nulo da sua coluna, e as linhas de zeros ficam embaixo. Para [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], a RREF é [[1, 0, −1], [0, 1, 2], [0, 0, 0]]. O posto é o número de pivôs, 2 aqui, e conta quantas linhas são de fato independentes. Se a matriz é de coeficientes de um sistema de equações, um posto menor que o número de incógnitas significa que há variáveis livres: infinitas soluções, ou nenhuma.
- Por que mostra frações em vez de decimais?
- Porque frações são exatas, e trabalhos de álgebra linear costumam pedir a resposta exata. Cada elemento é guardado como uma fração de dois números inteiros, então nada é arredondado pelo caminho. Digitar 0.1 e 0.2 em A + B dá exatamente 3/10, e não o 0,30000000000000004 que a matemática de ponto flutuante produz. A inversa de [[2, 1], [1, 3]] sai como [[3/5, −1/5], [−1/5, 2/5]]. Mude para Decimais e você vê 0,6, −0,2, −0,2 e 0,4, arredondados a no máximo 6 casas. A opção só muda a aparência da resposta, nunca a conta.
- Posso colar uma matriz do Excel ou do Google Planilhas?
- Sim. Copie um intervalo, clique em qualquer célula de A ou B e cole. A matriz inteira é substituída e redimensionada para combinar. Tabulações, espaços e vírgulas separam colunas, enquanto quebras de linha e ponto e vírgula separam linhas, então o estilo MATLAB [1 2; 3 4] também funciona. Linhas curtas são completadas com 0, e o que passar de 6 linhas ou 6 colunas é descartado com um aviso. No sentido contrário, Copiar gera linhas separadas por tabulação que colam direto numa planilha, e Copiar LaTeX gera uma bmatrix como \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}. Numa célula, use ponto para decimais, já que a vírgula é ambígua.
- Como funcionam as potências de matriz?
- Aⁿ é A multiplicada por ela mesma n vezes, então A³ = A × A × A. Só matrizes quadradas têm potências, porque A × A exige que as colunas de A batam com as linhas. A⁰ é a matriz identidade, e a calculadora aceita n de 0 a 20. Potências aparecem em cadeias de Markov, caminhos em grafos e recorrências. O exemplo clássico é a matriz de Fibonacci: [[1, 1], [1, 0]] elevada à 10ª potência é [[89, 55], [55, 34]], que contém o 11º, o 10º e o 9º números de Fibonacci. Para uma potência negativa, ache A⁻¹ primeiro, aperte Usar como A e eleve à potência positiva.
- O que a transposta faz?
- Ela transforma linhas em colunas. A linha 1 de A vira a coluna 1 de Aᵀ, então uma matriz 2×3 vira uma 3×2. Para [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], a transposta é [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]. Uma matriz igual à própria transposta se chama simétrica, como as matrizes de covariância em estatística. Uma regra vale saber para demonstrações: a transposta de um produto inverte a ordem, então (A × B)ᵀ = Bᵀ × Aᵀ. Uma matriz e sua transposta sempre têm o mesmo determinante e o mesmo posto.
