- O que é um problema do diamante?
- Um problema do diamante é um quadrado desenhado apoiado na ponta e dividido em quatro triângulos. As duas casas laterais guardam um par de números; a casa de cima guarda o resultado da multiplicação deles, e a de baixo guarda o resultado da soma. Você recebe duas das quatro e precisa achar o resto. Ele aparece no currículo americano CPM Core Connections, por volta do Algebra 1, normalmente um ou dois capítulos antes da fatoração, e existe porque “achar dois números com este produto e esta soma” é exatamente o passo de que você vai precisar para fatorar x² + bx + c depois. O diamante é o treino; a fatoração é o que ele está treinando.
- Como resolver um problema do diamante quando são dados o produto e a soma?
- Na mão, você lista os pares de fatores do produto e confere qual par soma o valor pedido. Para um produto de 24 e uma soma de 10: 1 e 24 somam 25, 2 e 12 somam 14, 3 e 8 somam 11, 4 e 6 somam 10 — achou. Quando os números não colaboram, o caminho confiável é a álgebra: os dois números são as raízes de x² − Sx + P = 0, então você calcula o discriminante S² − 4P, tira a raiz e divide a soma para os dois lados. É esse o método que esta página mostra na conta, porque ele nunca depende de achar um par por sorte.
- E se o produto for negativo?
- Então um número é positivo e o outro é negativo — essa é a regra de sinais mais útil de todo o assunto. Se a soma é positiva ou negativa diz qual dos dois é maior em valor absoluto: um produto de −24 com soma −2 dá 4 e −6, porque o negativo tem que ser o maior do par para puxar o total para baixo de zero. Se o produto é positivo e a soma é negativa, os dois números são negativos. Os alunos perdem mais pontos com erros de sinal nesses problemas do que com aritmética, então a conta nesta página sempre mostra os sinais explicitamente, em vez de escondê-los.
- E se forem dados só um número e a soma?
- Subtraia. Se a casa da esquerda é 5 e a soma é 2, a casa da direita é 2 − 5 = −3, e o produto é 5 × −3 = −15. Se em vez disso forem dados um número e o produto, divida: 56 ÷ 7 = 8, depois some para ter a soma. Os dois são bem mais rápidos que o sentido produto-e-soma, e por isso é estranho que a maioria dos resolvedores online não aceite — a folha de exercícios traz isso o tempo todo. Digite nas duas casas que você realmente tem e esta página escolhe o caminho certo sozinha.
- Por que às vezes aparece um decimal em vez de dois números inteiros?
- Porque não existe par de números inteiros para esses dois valores. Um produto de 1 e uma soma de 3 dá 2,6180 e 0,3820 — por acaso, a proporção áurea e o seu inverso —, e a página avisa que o par não é inteiro. Problemas do diamante quase sempre são feitos para dar números inteiros, então uma resposta decimal costuma ser sinal de que algum dígito ou sinal foi digitado errado. Leia isso como um convite para conferir o que você digitou, e não como a resposta que você deveria encontrar.
- Por que às vezes ela diz que nenhum par de números reais faz isso?
- Porque você pediu um produto grande demais para a soma informada. Dois números que somam S podem multiplicar no máximo S²/4, o que acontece quando são metades iguais — então uma soma de 2 limita o produto a 1, e pedir 10 é impossível nos números reais. Algebricamente, o discriminante S² − 4P ficou negativo, e as raízes são um par complexo. A página informa o maior produto que a sua soma alcança, porque esse número geralmente aponta direto para o erro de digitação.
- Funciona com frações?
- Funciona, e com exatidão. Digite 1/2 e 1/3 e você recebe um produto de 1/6 e uma soma de 5/6 — não 0.16666666666666666, que é o que você veria numa página que faz a conta com decimais comuns. Frações entram como frações e voltam como frações; digite decimais e você recebe decimais, então 0.1 e 0.2 dão 0.02 e 0.3, e não o 0.020000000000000004 que o ponto flutuante produz. Os problemas do diamante usam frações com frequência suficiente para isso ser a diferença entre uma página útil e uma confusa.
- Qual a relação disso com fatorar uma equação do segundo grau?
- Direta. Para fatorar x² + 7x + 12 você precisa de dois números que multiplicados deem 12 e somados deem 7 — um problema do diamante com o produto em cima e o coeficiente de x embaixo. Resolva (3 e 4) e a fatoração sai: (x + 3)(x + 4). Para uma equação com coeficiente principal, como 2x² + 7x + 3, o diamante leva o produto a·c em cima e b embaixo, que é o método de “desmembrar o termo do meio”. Se você quer a fatoração completa em vez do par, a calculadora da fórmula de Bhaskara continua daqui.
- Posso preencher três casas?
- Pode digitar nas quatro, se quiser — a página mantém as duas que você mexeu por último e resolve de novo a partir delas, recalculando o resto. Isso é de propósito: quando você está corrigindo um número já digitado, quer que a página acompanhe o seu raciocínio mais recente, e não que te prenda às duas primeiras entradas ou jogue uma contradição na tela. Apague uma casa e as respostas calculadas somem junto.
- O que eu digito é enviado para algum lugar?
- Não. Tudo roda no seu navegador, então nada sai da página, e fechar a aba apaga tudo. Sem conta, sem limite de quantos diamantes você resolve, e a conta não fica escondida atrás de assinatura — o método é a parte que vale a pena, então é a parte que está na tela.
