Calculadora de Derivada

Na faculdade, a primeira prova de Cálculo I quase sempre cobra derivada com regra do produto e regra da cadeia, e a notação f′(x) vira rotina em engenharia, economia e administração. Esta calculadora dá a derivada de qualquer função de x com cada passo à vista. Um exemplo de custo marginal: se produzir x unidades custa C(x) = 0,02x² + 5x + 800 reais, você digita 0.02x^2 + 5x + 800 e recebe (1/25)*x + 5. Em x = 100, cada unidade a mais custa R$ 9. Atenção: no campo f(x), decimal vai com ponto, 0.02 e não 0,02.

O que é uma derivada?

Uma derivada diz com que rapidez alguma coisa muda. Você dá uma função, e ela devolve uma nova função cujo valor em cada x é a inclinação da curva original naquele ponto. Digite x^2 na calculadora de derivada e você recebe 2*x: em x = 3 a curva sobe 6 unidades para cada unidade que você anda para a direita.

Newton e Leibniz chegaram à ideia separadamente no fim do século XVII e brigaram pelo resto da vida sobre quem chegou primeiro. A gente ainda usa as notações dos dois. O ponto de Newton e a linha de Lagrange (f′) querem dizer a mesma coisa que o dy/dx de Leibniz.

Derivadas aparecem muito além da aula de cálculo. Velocidade é a derivada da posição. Aceleração é a derivada da velocidade. Custo marginal é a derivada de uma curva de custo. Sempre que alguém pergunta "com que rapidez isso está mudando agora?", a resposta é uma derivada.

Muitos resolvedores de matemática na internet entregam o resultado de graça e cobram pelo caminho. Os passos ficam atrás de um selo Pro, de um cadastro obrigatório ou de uma cota diária que acaba no meio da lista de exercícios. Esta calculadora de derivada mostra o resultado e cada passo, sempre, e depois deixa você ir embora. A conta roda no seu navegador, então nada do que você digita sai do seu aparelho.

Como usar a calculadora de derivada

1. Digite sua função no campo f(x) do jeito que você escreveria no caderno: 3x^2 + sin(x), x*e^x, (x^2+1)/(x-1). Dá para pular o sinal de multiplicação (2x, xsin(x)). A única variável é x.
2. Veja o resultado aparecer. Não tem botão de Calcular. O resultado atualiza um quarto de segundo depois que você para de digitar.
3. Escolha a ordem em Order (ordem) se precisar de mais do que a primeira derivada. f′ é a primeira, f″ a segunda, e assim por diante até f⁽⁵⁾.
4. Opcional: digite um ponto em Evaluate at (calcular em) para ver a inclinação ali. Vale um número, pi, e ou uma expressão constante como pi/4. Uma vírgula decimal como 2,5 é lida como 2.5.
5. Leia o passo a passo em How we got there (como chegamos lá). Cada linha diz a regra, em inglês, e mostra a regra com os seus próprios termos.
6. Clique em Copy derivative (copiar derivada) para levar o resultado em texto puro para as suas anotações ou para um programa de gráficos.

A página já abre com 3x^2 + sin(x) preenchido, então você vê 6*x + cos(x) e três passos antes de mexer em qualquer coisa. O fluxo é só esse: abrir, digitar, ler, sair.

As regras por trás de toda derivada

Você não precisa de um limite toda vez que deriva. Uma lista curta de regras cobre quase toda função que aparece num primeiro curso de cálculo, e a calculadora usa exatamente estas:

Junte as derivadas conhecidas de sin, cos, tan, eˣ, ln e companhia, e você desmonta quase qualquer coisa. O segredo é saber qual regra usar primeiro. É aí também que acontece a maioria dos erros, e é por isso que os passos importam mais do que a última linha.

Exemplo resolvido: x·sin(2x) em x = 1

Digite x*sin(2x) e coloque 1 em Evaluate at. A calculadora devolve sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) e dois passos:

• Product rule (regra do produto): (x*sin(2*x))' = (x)'*sin(2*x) + x*(sin(2*x))'. A derivada de x é 1, então a primeira metade é só sin(2*x).
• Chain rule (regra da cadeia): (sin(2*x))' = cos(2*x)*(2*x)' = 2*cos(2*x). A função de fora é sin, a de dentro é 2x, e a derivada de dentro, 2, vai para a frente.

Junte as metades e você tem sin(2*x) + 2*x*cos(2*x). Em x = 1 isso dá sin(2) + 2·cos(2), ou cerca de 0,9093 − 0,8323. O campo de valor mostra 0.0770038. A curva está quase plana ali, subindo pouco menos de 0,08 unidade por unidade de x.

Se na sua lista a resposta ficou sin(2x) + x·cos(2x), o passo da regra da cadeia mostra exatamente onde foi parar o 2 que faltou.

Derivadas comuns, conferidas na calculadora

Cada linha abaixo passou pela calculadora. A coluna do meio é o texto exato que o Copy derivative coloca na sua área de transferência, e a última coluna é o nome da regra que você vê nos passos (em inglês, com a tradução).

Duas linhas pegam muita gente. log(x) aqui é logaritmo na base 10, então a derivada dele leva um ln(10) no denominador. Use ln(x) se você quer o logaritmo natural. E x^x não se encaixa nem na regra da potência nem na exponencial, porque o x está na base e no expoente. A calculadora passa para derivação logarítmica e avisa.

Repare no que as respostas não têm. Você não vai ver -2*x^(-2 - 1) nem um x/x largado no meio. Expoentes viram frações exatas, potências negativas aparecem como quocientes e termos semelhantes se juntam. Digite sin(x)^2 + cos(x)^2 e a resposta é um 0 limpo, do jeito que tem que ser.

Como achar um máximo com a segunda derivada

A primeira derivada mostra onde a curva fica plana. A segunda diz se aquele ponto plano é um pico ou um vale. Aqui está o teste completo com f(x) = x³ − 6x² + 9x.

Digite x^3 - 6x^2 + 9x com ordem f′. Você recebe 3*x^2 - 12*x + 9, que fatora como 3(x − 1)(x − 3). Calcule em 1 e em 3: os dois dão 0. Esses são os dois pontos planos.

Agora mude a ordem para f″. A resposta é 6*x - 12, e os passos mostram f′ como linha intermediária antes de derivar de novo. Calcule em 1 e você recebe -6. Negativo quer dizer que a curva se curva para baixo, então x = 1 é um máximo local, no ponto (1, 4). Calcule em 3 e você recebe 6. Positivo quer dizer que ela se curva para cima, então x = 3 é um mínimo local, em (3, 0).

Siga até f‴ e você recebe 6. Em f⁽⁴⁾ a resposta é 0. Uma função cúbica fica sem derivadas depois da terceira, e a calculadora mostra isso acontecendo.

Casos especiais e limitações

Alguns pontos não têm derivada, e uma boa calculadora deveria dizer isso em vez de mostrar um número.

• A função não está definida no seu ponto. ln(x) em -1 é a pegadinha clássica. A fórmula 1/x devolveria −1 numa boa, mas ln(−1) não existe, então não há curva para ter inclinação. A calculadora confere f primeiro e avisa que f′ não está definida ali.
• Bicos e pontas. abs(x) em 0 tem inclinação −1 pela esquerda e 1 pela direita, então nenhuma inclinação única serve. x^(1/3) em 0 sobe na vertical. Os dois voltam como não definidos.
• A fórmula quebra, mas a inclinação existe. abs(x)^3 em 0 dá 0/0 na fórmula, mas a curva é suave ali. A calculadora mede a inclinação pelos dois lados, chega a 0 e acrescenta uma nota dizendo que o valor veio dos números e não da fórmula.
• Valores enormes. e^x em 1000 é grande demais para qualquer número de computador. Você vê a mensagem "That slope is too big to show. Try a smaller x." (a inclinação é grande demais para mostrar; tente um x menor).

O escopo é proposital: uma variável, x, até a 5ª derivada. Letras como a ou k ainda não funcionam, nem sinh, cosh ou tanh. Derivadas parciais e derivação implícita são outros trabalhos e não fazem parte desta ferramenta.

Cálculos relacionados

Integrar é derivar ao contrário. A calculadora de integral (em inglês) lê a mesma forma de digitar funções, então você pode conferir uma primitiva derivando ela aqui.

Derivadas são definidas como limites. A calculadora de limite (em inglês) mostra o que acontece quando x se aproxima de um valor, útil quando uma fórmula dá 0/0.

Ver a curva ajuda. Cole sua função na calculadora gráfica (em inglês) e confira se a inclinação que você calculou bate com o desenho. Para a inclinação de uma reta entre dois pontos, a calculadora de inclinação é a ferramenta mais simples. E quando f′ sai uma função do segundo grau, como 3*x^2 - 12*x + 9 lá em cima, a calculadora de Bhaskara acha onde ela zera.

Perguntas frequentes

Por que a derivada de e^x é só e^x?

Porque e é a única base em que a taxa de crescimento é igual ao valor atual. Toda exponencial aˣ tem derivada aˣ·ln(a), e ln(e) = 1, então o fator extra some. Teste 2^x e você recebe 2^x*ln(2). Coloque e^x na ordem 5 e a resposta continua sendo e^x.

Qual a diferença entre f′(x), dy/dx e y′?

Nenhuma, no que diz respeito à resposta. São três notações para a mesma derivada. f′(x) vem de Lagrange, dy/dx de Leibniz, e y′ é a forma curta quando y = f(x). A calculadora usa linhas: f′, f″, f‴, depois f⁽⁴⁾ e f⁽⁵⁾.

Ela faz derivadas parciais ou derivação implícita?

Não. Esta ferramenta deriva funções de uma única variável, x. Derivadas parciais precisam de várias variáveis, e a derivação implícita precisa de uma equação em x e y. São trabalhos diferentes, e uma calculadora de derivada que tenta fazer tudo costuma deixar cada parte mais difícil de usar.

Por que meu decimal virou fração?

A calculadora faz aritmética exata, então 4.9 vira 49/10. A derivada de -4.9x^2 + 20x volta como -(49/5)*x + 20, que é −9,8x + 20. É o mesmo número, e ele nunca escorrega para ruído de arredondamento como 9.800000000000001. Valores em um ponto continuam aparecendo como decimais.

É cola usar uma calculadora de derivada na lista de exercícios?

Depende de como você usa. Copiar a última linha não ensina nada. Fazer o exercício primeiro e depois comparar a sua resolução com os passos é o jeito de achar a linha exata em que você perdeu um sinal ou esqueceu a regra da cadeia. Quando os passos ficam atrás de um paywall, esse segundo hábito sai caro. Aqui eles simplesmente estão lá.

Funciona no celular?

Funciona. É um único cartão com três campos, então cabe na tela do celular, e a conta roda no próprio navegador. Nada é enviado a um servidor, então sinal fraco não deixa a calculadora lenta depois que a página carregou.